7.lim_(xtoinfty)((x+2a)/(x-a))^(x)/(3)=8，则a=_____.
题目解答
答案
将原式重写为：
$\left( \frac{x+2a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}} = \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}}$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{3a}{x-a} \to 0$，利用极限公式 $\lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y = e$，可得：
$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x-a}{3a}} \right]^{\frac{3a}{x-a} \cdot \frac{x}{3}} = e^a$
由题意 $e^a = 8$，解得 $a = \ln 8 = 3\ln 2$。
答案： $\boxed{3\ln 2}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是利用自然对数的极限公式求解指数型极限问题。关键在于将给定表达式转化为标准形式，进而应用已知极限公式。
解题核心思路：
- 变形分式：将分式$\frac{x+2a}{x-a}$改写为$1+\frac{3a}{x-a}$，使其符合$(1+\frac{1}{y})^y$的结构。
- 调整指数：通过指数变形，将原式转化为$\left[\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3a}}\right]^a$，从而应用极限公式$\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y = e$。
- 建立方程：根据题目给出的极限值$8$，得到方程$e^a = 8$，最终解出$a$的值。
破题关键点：
- 识别标准极限形式，通过代数变形匹配已知公式。
- 正确处理指数部分，确保变形过程中指数与底数的对应关系。
将原式$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)^{\frac{x}{3}}$变形为：
$\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^{\frac{x}{3}}.$
当$x\to\infty$时，$\frac{3a}{x-a}\to0$，此时利用极限公式$\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y = e$，可得：
$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^{\frac{x}{3}} = \lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3a}}\right]^a = e^a.$
根据题意，$e^a = 8$，解得：
$a = \ln 8 = 3\ln 2.$