题目
3、lim_((x,y)to(0,0))(ln(1+x^2+y^2))/(x^2)+y^(2)=（）。A. 0B. 1
3、$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln(1+x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=（）$。
A. 0
B. 1
题目解答
答案
B. 1
解析
本题考查二元函数极限的计算，解题思路是通过换元法将二元函数极限转化为一元函数极限，再利用等价无穷小的性质进行求解。
- 设$t = x^{2}+y^{2}$，当$(x,y)\to(0,0)$时，$x\to0$且$y\to0$，那么$t = x^{2}+y^{2}\to0$。
- 此时原极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln(1+x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}$就转化为$\lim_{t\to0}\frac{\ln(1 + t)}{t}$。
- 利用等价无穷小的性质：当$t\to0$时，$\ln(1 + t)\sim t$。
- 即当$t\to0$时，$\ln(1 + t)$与$t$是等价无穷小，所以$\lim_{t\to0}\frac{\ln(1 + t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{t}{t}$。
- 计算$\lim_{t\to0}\frac{t}{t}$：
- 对$\frac{t}{t}$进行化简，$\frac{t}{t}=1$（$t\neq0$），所以$\lim_{t\to0}\frac{t}{t}=\lim_{t\to0}1 = 1$。