题目

2-5 如图5,O为凸五边形ABCDE内一-|||-点,且 angle 1=angle 2 angle 3=angle 4 ,angle 5=angle 6 angle 7=-|||-angle 8.-|||-求证: angle 9 与 angle 10 相等或互补.-|||-A-|||-8-|||-E 10 B-|||-6 3,-|||-o-|||-52-|||-D C-|||-图5

题目解答

答案

解析

本题考查正弦定理以及三角形内角的性质，解题的关键思路是通过已知的等角条件，利用正弦定理或三角形面积公式建立起$\sin\angle 9$与$\sin\angle 10$的联系，再根据三角形内角的范围得出$\angle 9$与$\angle 10$的关系。

证法1

在$\triangle AOB$中，根据正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$（其中$a,b,c$为三角形的三边，$A,B,C$为三角形的三个内角），可得$\frac{OA}{\sin\angle 10}=\frac{OB}{\sin\angle 1}$。
因为$\angle 1 = \angle 2$，所以$\sin\angle 1 = \sin\angle 2$，那么$\frac{OB}{\sin\angle 1}=\frac{OB}{\sin\angle 2}$。
在$\triangle BOC$中，由正弦定理可得$\frac{OB}{\sin\angle 2}=\frac{OC}{\sin\angle 3}$。
由于$\angle 3 = \angle 4$，所以$\sin\angle 3 = \sin\angle 4$，则$\frac{OC}{\sin\angle 3}=\frac{OC}{\sin\angle 4}$。
在$\triangle COD$中，根据正弦定理有$\frac{OC}{\sin\angle 4}=\frac{OD}{\sin\angle 5}$。
因为$\angle 5 = \angle 6$，所以$\sin\angle 5 = \sin\angle 6$，那么$\frac{OD}{\sin\angle 5}=\frac{OD}{\sin\angle 6}$。
在$\triangle DOE$中，由正弦定理可得$\frac{OD}{\sin\angle 6}=\frac{OE}{\sin\angle 7}$。
由于$\angle 7 = \angle 8$，所以$\sin\angle 7 = \sin\angle 8$，则$\frac{OE}{\sin\angle 7}=\frac{OE}{\sin\angle 8}$。
在$\triangle EOA$中，根据正弦定理有$\frac{OE}{\sin\angle 8}=\frac{OA}{\sin\angle 9}$。
综合以上步骤，可得$\frac{OA}{\sin\angle 10}=\frac{OB}{\sin\angle 1}=\frac{OB}{\sin\angle 2}=\frac{OC}{\sin\angle 3}=\frac{OC}{\sin\angle 4}=\frac{OD}{\sin\angle 5}=\frac{OD}{\sin\angle 6}=\frac{OE}{\sin\angle 7}=\frac{OE}{\sin\angle 8}=\frac{OA}{\sin\angle 9}$，所以$\sin\angle 9 = \sin\angle 10$。
因为$\angle 9$与$\angle 10$都是三角形内角，即$0^{\circ}\lt{}\angle 9\lt{}180^{\circ}$，$0^{\circ}\lt{}\angle 10\lt{}180^{\circ}$，当$\sin\alpha=\sin\beta$（$0^{\circ}\lt{}\alpha\lt{}180^{\circ}$，$0^{\circ}\lt{}\beta\lt{}180^{\circ}$）时，$\alpha = \beta$或$\alpha + \beta = 180^{\circ}$，所以$\angle 9$与$\angle 10$相等或互补。

证法2

因为$\angle 1 = \angle 2$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$（其中$a,b$为三角形的两边，$C$为$a,b$夹角），可得$\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OBC}}=\frac{\frac{1}{2}OA\cdot AB\cdot \sin\angle 1}{\frac{1}{2}OC\cdot BC\cdot \sin\angle 2}=\frac{OA\cdot AB}{OC\cdot BC}$。
同理，在$\triangle BOC$和$\triangle COD$中，$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}}=\frac{\frac{1}{2}OB\cdot BC\cdot \sin\angle 2}{\frac{1}{2}OD\cdot CD\cdot \sin\angle 3}=\frac{OB\cdot BC}{OD\cdot CD}$。
在$\triangle COD$和$\triangle DOE$中，$\frac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle DOE}}=\frac{\frac{1}{2}OC\cdot CD\cdot \sin\angle 3}{\frac{1}{2}OE\cdot DE\cdot \sin\angle 4}=\frac{OC\cdot CD}{OE\cdot DE}$。
在$\triangle DOE$和$\triangle EOA$中，$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle EOA}}=\frac{\frac{1}{2}OD\cdot DE\cdot \sin\angle 4}{\frac{1}{2}OA\cdot AE\cdot \sin\angle 5}=\frac{OD\cdot DE}{OA\cdot AE}$。
在$\triangle EOA$和$\triangle AOB$中，$\frac{S_{\triangle EOA}}{S_{\triangle AOB}}=\frac{\frac{1}{2}OE\cdot EA\cdot \sin\angle 9}{\frac{1}{2}OB\cdot AB\cdot \sin\angle 10}=\frac{OE\cdot EA\cdot \sin\angle 9}{OB\cdot AB\cdot \sin\angle 10}$。
将上面五式相乘，可得：
$\begin{align*}\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OBC}}\cdot\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}}\cdot\frac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle DOE}}\cdot\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle EOA}}\cdot\frac{S_{\triangle EOA}}{S_{\triangle AOB}}&=\frac{OA\cdot AB}{OC\cdot BC}\cdot\frac{OB\cdot BC}{OD\cdot CD}\cdot\frac{OC\cdot CD}{OE\cdot DE}\cdot\frac{OD\cdot DE}{OA\cdot AE}\cdot\frac{OE\cdot EA\cdot \sin\angle 9}{OB\cdot AB\cdot \sin\angle 10}\\1&=\frac{\sin\angle 9}{\sin\angle 10}\end{align*}$
即$\sin\angle 9 = \sin\angle 10$。
因为$\angle 9$与$\angle 10$都是三角形内角，即$0^{\circ}\lt{}\angle 9\lt{}180^{\circ}$，$0^{\circ}\lt{}\angle 10\lt{}180^{\circ}$，当$\sin\alpha=\sin\beta$（$0^{\circ}\lt{}\alpha\lt{}180^{\circ}$，$0^{\circ}\lt{}\beta\lt{}180^{\circ}$）时，$\alpha = \beta$或$\alpha + \beta = 180^{\circ}$，所以$\angle 9$与$\angle 10$相等或互补。