题目
尖感形17个师!1~-|||-已知可微函数f(u,v)满足 dfrac (partial f(u,v))(partial u)-dfrac (partial f(u,v))(partial v)=2(u-v)(e)^-(u+v) ,且 (u,0)=(u)^2e-|||-(1)记 g(x,y)=f(x,y-x) ,求 dfrac (partial g(x,y))(partial x) ;-|||-,[ (4x-2y)-|||-(2)求f(u,v)的表达式和极值. .[ ((u)^2+(v)^2)(e)^-(u+v) ;f(0,0)=0 极小
题目解答
答案
解析
步骤 1：求 $\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x}$
首先，我们有 $g(x,y)=f(x,y-x)$。根据链式法则，我们可以求出 $\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x}$。
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(x,y-x)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} \cdot \dfrac {\partial u}{\partial x} + \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} \cdot \dfrac {\partial v}{\partial x}
$$
其中，$u=x$，$v=y-x$，所以 $\dfrac {\partial u}{\partial x}=1$，$\dfrac {\partial v}{\partial x}=-1$。代入上述公式，我们得到：
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} - \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v}
$$
根据题目条件，$\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u}-\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v}=2(u-v){e}^{-(u+v)}$，所以：
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = 2(u-v){e}^{-(u+v)} = 2(x-(y-x)){e}^{-(x+(y-x))} = 2(2x-y){e}^{-y}
$$
步骤 2：求 $f(u,v)$ 的表达式
根据题目条件，$f(u,0)={u}^{2}e$。我们设 $f(u,v)=\phi(u,v)+\psi(v)$，其中 $\phi(u,v)$ 满足 $\dfrac {\partial \phi(u,v)}{\partial u}-\dfrac {\partial \phi(u,v)}{\partial v}=2(u-v){e}^{-(u+v)}$，$\psi(v)$ 满足 $\psi(0)=0$。
对 $\phi(u,v)$ 积分，我们得到：
$$
\phi(u,v) = \int 2(u-v){e}^{-(u+v)} du = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)} + C(v)
$$
其中 $C(v)$ 是关于 $v$ 的函数。因为 $\phi(u,0)={u}^{2}e$，所以：
$$
\phi(u,0) = -2u{e}^{-u} + 2{e}^{-u} + C(0) = {u}^{2}e
$$
解得 $C(0)=0$，所以 $C(v)=0$。因此，$\phi(u,v) = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)}$。
因为 $\psi(0)=0$，所以 $\psi(v)=0$。因此，$f(u,v) = \phi(u,v) + \psi(v) = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)}$。
步骤 3：求 $f(u,v)$ 的极值
对 $f(u,v)$ 求偏导数，我们得到：
$$
\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} = -2{e}^{-(u+v)} + 2(u-v){e}^{-(u+v)} = 2(u-v-1){e}^{-(u+v)}
$$
$$
\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} = 2{e}^{-(u+v)} - 2(u-v){e}^{-(u+v)} = -2(u-v-1){e}^{-(u+v)}
$$
令 $\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} = 0$ 和 $\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} = 0$，我们得到 $u-v-1=0$，即 $u=v+1$。
将 $u=v+1$ 代入 $f(u,v)$，我们得到：
$$
f(v+1,v) = -2(v+1-v){e}^{-(v+1+v)} + 2{e}^{-(v+1+v)} = -2{e}^{-2v-1} + 2{e}^{-2v-1} = 0
$$
因此，$f(u,v)$ 在 $(0,0)$ 处取得极小值 $f(0,0)=0$。
首先，我们有 $g(x,y)=f(x,y-x)$。根据链式法则，我们可以求出 $\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x}$。
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(x,y-x)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} \cdot \dfrac {\partial u}{\partial x} + \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} \cdot \dfrac {\partial v}{\partial x}
$$
其中，$u=x$，$v=y-x$，所以 $\dfrac {\partial u}{\partial x}=1$，$\dfrac {\partial v}{\partial x}=-1$。代入上述公式，我们得到：
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} - \dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v}
$$
根据题目条件，$\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u}-\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v}=2(u-v){e}^{-(u+v)}$，所以：
$$
\dfrac {\partial g(x,y)}{\partial x} = 2(u-v){e}^{-(u+v)} = 2(x-(y-x)){e}^{-(x+(y-x))} = 2(2x-y){e}^{-y}
$$
步骤 2：求 $f(u,v)$ 的表达式
根据题目条件，$f(u,0)={u}^{2}e$。我们设 $f(u,v)=\phi(u,v)+\psi(v)$，其中 $\phi(u,v)$ 满足 $\dfrac {\partial \phi(u,v)}{\partial u}-\dfrac {\partial \phi(u,v)}{\partial v}=2(u-v){e}^{-(u+v)}$，$\psi(v)$ 满足 $\psi(0)=0$。
对 $\phi(u,v)$ 积分，我们得到：
$$
\phi(u,v) = \int 2(u-v){e}^{-(u+v)} du = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)} + C(v)
$$
其中 $C(v)$ 是关于 $v$ 的函数。因为 $\phi(u,0)={u}^{2}e$，所以：
$$
\phi(u,0) = -2u{e}^{-u} + 2{e}^{-u} + C(0) = {u}^{2}e
$$
解得 $C(0)=0$，所以 $C(v)=0$。因此，$\phi(u,v) = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)}$。
因为 $\psi(0)=0$，所以 $\psi(v)=0$。因此，$f(u,v) = \phi(u,v) + \psi(v) = -2(u-v){e}^{-(u+v)} + 2{e}^{-(u+v)}$。
步骤 3：求 $f(u,v)$ 的极值
对 $f(u,v)$ 求偏导数，我们得到：
$$
\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} = -2{e}^{-(u+v)} + 2(u-v){e}^{-(u+v)} = 2(u-v-1){e}^{-(u+v)}
$$
$$
\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} = 2{e}^{-(u+v)} - 2(u-v){e}^{-(u+v)} = -2(u-v-1){e}^{-(u+v)}
$$
令 $\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial u} = 0$ 和 $\dfrac {\partial f(u,v)}{\partial v} = 0$，我们得到 $u-v-1=0$，即 $u=v+1$。
将 $u=v+1$ 代入 $f(u,v)$，我们得到：
$$
f(v+1,v) = -2(v+1-v){e}^{-(v+1+v)} + 2{e}^{-(v+1+v)} = -2{e}^{-2v-1} + 2{e}^{-2v-1} = 0
$$
因此，$f(u,v)$ 在 $(0,0)$ 处取得极小值 $f(0,0)=0$。