题目
根据二重积分的几何意义， iint_(D) sqrt(4-x^2-y^2) , dx , dy = ( ) 其中 D: x^2 + y^2 leq 4, x geq 0, y geq 0。 A. (4)/(3) piB. (2)/(3) piC. piD. (5)/(3) pi
根据二重积分的几何意义，
$\iint_{D} \sqrt{4-x^2-y^2} \, dx \, dy = (\quad)$
其中 $D: x^2 + y^2 \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$。
- A. $\frac{4}{3} \pi$
- B. $\frac{2}{3} \pi$
- C. $\pi$
- D. $\frac{5}{3} \pi$
题目解答
答案
将二重积分转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。被积函数变为 $\sqrt{4 - r^2}$。
计算内积分：
\[
\int_{0}^{2} \sqrt{4 - r^2} \, r \, dr = \frac{8}{3}
\]
计算外积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3} \, d\theta = \frac{4\pi}{3}
\]
或者从几何意义考虑，该积分表示球的上半部分在第一象限的体积，为球体积的八分之一，即 $\frac{4\pi}{3}$。
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：转换为极坐标
将二重积分转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。被积函数变为 $\sqrt{4 - r^2}$。
步骤 2：计算内积分
计算内积分： \[ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - r^2} \, r \, dr = \frac{8}{3} \]
步骤 3：计算外积分
计算外积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3} \, d\theta = \frac{4\pi}{3} \]
步骤 4：几何意义
或者从几何意义考虑，该积分表示球的上半部分在第一象限的体积，为球体积的八分之一，即 $\frac{4\pi}{3}$。
将二重积分转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\,dr\,d\theta$。区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。被积函数变为 $\sqrt{4 - r^2}$。
步骤 2：计算内积分
计算内积分： \[ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - r^2} \, r \, dr = \frac{8}{3} \]
步骤 3：计算外积分
计算外积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3} \, d\theta = \frac{4\pi}{3} \]
步骤 4：几何意义
或者从几何意义考虑，该积分表示球的上半部分在第一象限的体积，为球体积的八分之一，即 $\frac{4\pi}{3}$。