7.设随机变量X的密度函数为-|||-(x)= ) ax+b(x)^2,0lt xlt 1 0, .-|||-如果已知 (X)=0.5, 试计算Var(X).

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的期望、方差计算，以及利用密度函数的归一化条件求解参数。

解题思路：

1. 确定参数：利用密度函数的归一化条件（积分等于1）和已知的期望值，建立方程组求解参数$a$和$b$。
2. 计算方差：根据方差公式$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，先计算$E(X^2)$，再代入已知的$E(X)=0.5$。

关键点：

• 归一化条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx = 1$，本题中积分区间为$(0,1)$。
• 期望公式：$E(X) = \int_{0}^{1} x p(x) \, dx$，已知$E(X)=0.5$。
• 方差公式：$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，需先计算$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 p(x) \, dx$。

步骤1：求参数$a$和$b$

1. 归一化条件：
   $\int_{0}^{1} (ax + b x^2) \, dx = 1 \implies \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 1.$
2. 期望条件：
   $E(X) = \int_{0}^{1} x (ax + b x^2) \, dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{4} = 0.5.$
3. 解方程组：
   • 方程1：$\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 1$ → $3a + 2b = 6$.
   • 方程2：$\frac{a}{3} + \frac{b}{4} = 0.5$ → $4a + 3b = 6$.
   • 解得：$a = 6$，$b = -6$。

步骤2：计算$E(X^2)$

$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 (6x - 6x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (6x^3 - 6x^4) \, dx = \frac{6}{4} - \frac{6}{5} = 0.3.$

步骤3：计算方差

$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.3 - 0.5^2 = 0.05.$