题目

已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解=(e)^3x, _(2)=x(e)^3x, _(3)=cos sqrt (2)x, _(4)=2sin sqrt (2)x则这个四阶微分方程的通解为( )。=(e)^3x, _(2)=x(e)^3x, _(3)=cos sqrt (2)x, _(4)=2sin sqrt (2)x=(e)^3x, _(2)=x(e)^3x, _(3)=cos sqrt (2)x, _(4)=2sin sqrt (2)x=(e)^3x, _(2)=x(e)^3x, _(3)=cos sqrt (2)x, _(4)=2sin sqrt (2)x=(e)^3x, _(2)=x(e)^3x, _(3)=cos sqrt (2)x, _(4)=2sin sqrt (2)x

已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解

$y_1=e^3 x,y_2=xe^3 x,y_3= \cos \sqrt 2 x,y_4=2 \sin \sqrt 2 x$

则这个四阶微分方程的通解为( )。

$A.y= (C_1+C_2 x)e^3 x+(C_3 \cos \sqrt 2 x+C_4 \sin \sqrt 2 x)e^x$

$B.y= (C_1+C_2 x+C_3 \cos \sqrt 2 x+C_4 \sin \sqrt 2 x)e^3 x$

$C.y= (C_1+C_2 x)e^3 x+C_3 \cos \sqrt 2 x+C_4 \sin \sqrt 2 x$

$D.y=(C_1+C_2x)e^{-3x}+C_3\cos\sqrt{2}x+C_4\sin\sqrt{2}x$

题目解答

答案

解：由题可知

对于特解 $y_1和y_2$ ，它们都与 $e^3x$ 有关，只是 x 的幂次不同。因此，这两个特解对应的微分方程部分应该是 $(C_1+C_2x)e^3x$

对于特解 $y_3和y_4$ ,它们都是与 $\sqrt 2 x$ 有关的三角函数，因此这两个特解对应的微分方程部分应该是

$C_3 \cos \sqrt 2 x+C_4 \sin \sqrt 2 x$

这个四阶微分方程的通解应为：

$y= (C_1+C_2 x)e^3 x+C_3 \cos \sqrt 2 x+C_4 \sin \sqrt 2 x$

答案选择：C

解析

步骤 1：识别特解的结构
- 特解 $y_1 = e^{3x}$ 和 $y_2 = xe^{3x}$ 表明微分方程的特征方程有一个重根 $r = 3$，因此对应的解是 $({C}_{1}+{C}_{2}x)e^{3x}$。
- 特解 $y_3 = \cos \sqrt{2}x$ 和 $y_4 = 2\sin \sqrt{2}x$ 表明微分方程的特征方程有一对共轭复根 $r = \pm i\sqrt{2}$，因此对应的解是 ${C}_{3}\cos \sqrt{2}x + {C}_{4}\sin \sqrt{2}x$。

步骤 2：组合特解
- 将上述两部分解组合起来，得到微分方程的通解。