题目

2【填空题】排列n(n-1)…21的逆序数是（）第一空：

题目解答

答案

排列 $ n(n-1)\cdots21 $ 中，每个元素 $ k $（从 $ 1 $ 到 $ n $）的逆序数为 $ n-k $，因为其左侧有 $ n-k $ 个大于 $ k $ 的元素。总逆序数为： \[ \sum_{k=1}^{n} (n-k) = (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 + 0 = \frac{n(n-1)}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{n(n-1)}{2}}$

解析

逆序数是排列中所有逆序对的总数。本题的排列为完全递减序列 $n(n-1)\cdots21$，其特点是每个元素左侧的所有元素都比它大。关键思路是逐个元素计算其逆序数，再求和。

破题关键点：

元素位置与逆序数的关系：元素 $k$ 在排列中的位置是第 $n - k + 1$ 位，其左侧有 $n - k$ 个比它大的元素。
求和公式：将所有元素的逆序数相加，转化为等差数列求和。

步骤1：分析单个元素的逆序数

对于元素 $k$（$1 \leq k \leq n$），它在排列中的位置是第 $n - k + 1$ 位。由于排列是递减的，左侧所有元素均大于 $k$，因此 $k$ 的逆序数为 $n - k$。

步骤2：计算总逆序数

将所有元素的逆序数相加：
$\sum_{k=1}^{n} (n - k) = (n - 1) + (n - 2) + \cdots + 1 + 0$
这是一个首项为 $n - 1$，末项为 $0$，项数为 $n$ 的等差数列，其和为：
$\frac{n(n - 1)}{2}$