设__ _(n)=(int )_(0)^dfrac (pi {4)}(tan )^nxdx geqslant 1.-|||-(1)UND明数UND(a)_(n)ykparallel UND数;-|||-(2)证明 _(n)+(a)_(n-2)=dfrac (1)(n-1) , gt 2 ;-|||-(3)证明 dfrac (1)(2(n+1))lt (a)_(n)lt dfrac (1)(2(n-1)).

本题主要考查数列收敛性的证明、定积分的计算以及定积分不等式性质的应用。

（1）证明数列$\{a_n\}$收敛

• 思路：要证明数列$\{a_n\}$收敛，可根据数列收敛的判定定理，若数列单调有界，则数列收敛。所以需要证明数列$\{a_n\}$单调减少且有下界。
• 解析：
  已知$a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n xdx$，$n\geqslant 1$。当$0\lt x\lt \frac{\pi}{4}$时，$0\lt \tan x\lt 1$。
  对于指数函数$y = \tan^x$，因为底数$0\lt \tan x\lt 1$，指数越大函数值越小，所以$0\lt \tan^{n + 1}x\lt \tan^n x$。
  根据定积分的性质：若在区间$[a,b]$上$f(x)\lt g(x)$，则$\int_{a}^{b} f(x)dx\lt \int_{a}^{b} g(x)dx$，可得：
  $0\lt a_{n + 1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n + 1} xdx\lt \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n xdx = a_n$
  这表明数列$\{a_n\}$单调减少。
  又因为$a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n xdx\gt 0$（被积函数$\tan^n x$在$(0,\frac{\pi}{4})$上大于$0$），所以数列$\{a_n\}$有下界。
  由于数列$\{a_n\}$单调减少且有下界，根据数列收敛的判定定理可知，数列$\{a_n\}$收敛。

（2）证明$a_n + a_{n - 2} = \frac{1}{n - 1}$，$n\gt 2$

• 思路：将$a_n + a_{n - 2}$表示为定积分的形式，然后对被积函数进行化简，再通过换元法或直接积分求出定积分的值。
• 解析：
  $a_n + a_{n - 2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n xdx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n - 2} xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n - 2} x)dx$
  提取公因式$\tan^{n - 2} x$可得：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^n x + \tan^{n - 2} x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n - 2} x(\tan^2 x + 1)dx$
  根据三角函数的平方关系$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$，则上式变为：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n - 2} x\sec^2 xdx$
  令$u = \tan x$，则$du = \sec^2 xdx$。
  当$x = 0$时，$u = \tan 0 = 0$；当$x = \frac{\pi}{4}$时，$u = \tan\frac{\pi}{4} = 1$。
  那么$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n - 2} x\sec^2 xdx = \int_{0}^{1} u^{n - 2}du$
  根据幂函数积分公式$\int x^m dx = \frac{1}{m + 1}x^{m + 1} + C$（$m\neq -1$），可得：
  $\int_{0}^{1} u^{n - 2}du = \left[\frac{1}{n - 1}u^{n - 1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{n - 1}(1^{n - 1} - 0^{n - 1}) = \frac{1}{n - 1}$
  所以$a_n + a_{n - 2} = \frac{1}{n - 1}$，$n\gt 2$。

（3）证明$\frac{1}{2(n + 1)}\lt a_n\lt \frac{1}{2(n - 1)}$

• 思路：利用数列$\{a_n\}$的单调性以及（2）中得到的$a_n + a_{n - 2} = \frac{1}{n - 1}$和$a_n + a_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$来推导不等式。
• 解析：
  因为数列$\{a_n\}$单调减少，所以$a_n\gt a_{n + 2}$，$a_{n - 2}\gt a_n$。
  由$a_n + a_{n - 2} = \frac{1}{n - 1}$，且$a_{n - 2}\gt a_n$，可得$2a_n\lt a_n + a_{n - 2} = \frac{1}{n - 1}$，即$a_n\lt \frac{1}{2(n - 1)}$。
  同理，由$a_n + a_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$，且$a_n\gt a_{n + 2}$，可得$2a_n\gt a_n + a_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$，即$a_n\gt \frac{1}{2(n + 1)}$。
  综上，$\frac{1}{2(n + 1)}\lt a_n\lt \frac{1}{2(n - 1)}$。