题目
函数 f(z) = (z^2 - 1)/((z + 2)^3) 的孤立奇点为 ____，其类型为 ____。
函数 $f(z) = \frac{z^2 - 1}{(z + 2)^3}$ 的孤立奇点为 ____，其类型为 ____。
题目解答
答案
函数 $ f(z) = \frac{z^2 - 1}{(z+2)^3} $ 的分母为零时，即 $ (z+2)^3 = 0 $，解得 $ z = -2 $。
该点为函数的孤立奇点。
计算极限：
$\lim_{z \to -2} (z+2)^3 f(z) = \lim_{z \to -2} (z^2 - 1) = 3 \neq 0$
极限存在且非零，说明 $ z = -2 $ 为 3 阶极点（或三阶极点）。
答案：
孤立奇点为 $ z = -2 $，类型为 3 阶极点（或三阶极点）。
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{孤立奇点：} z = -2, & \text{类型：3 阶极点（或三阶极点）}\end{array}}$
解析
本题考查复变函数孤立奇点的概念及类型判断。解题思路如下：
- 首先明确孤立奇点的定义，对于函数$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$，使分母$h(z) = 0$的点即为可能的孤立奇点。
- 然后根据奇点类型的判断方法，对于函数$f(z)=\frac{g(z)}{(z - z_0)^m}$（$g(z)$在$z_0$处解析且$g(z_0)\neq0$），若$\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^m f(z)=C\neq0$，则$z_0$为$m$阶极点。
- 对于函数$f(z) = \frac{z^2 - 1}{(z + 2)^3}$，令分母$(z + 2)^3 = 0$，求解该方程：
- 对$(z + 2)^3 = 0$两边同时开立方，可得$z+2 = 0$，解得$z=-2$。所以函数$f(z)$的孤立奇点为$z = -2$。
- 接下来判断奇点$z = -2$的类型，计算$\lim_{z \to -2}(z + 2)^3 f(z)$：
- 把$f(z) = \frac{z^2 - 1}{(z + 2)^3}$代入$\lim_{z \to -2}(z + 2)^3 f(z)$中，得到$\lim_{z \to -2}(z + 2)^3\times\frac{z^2 - 1}{(z + 2)^3}$。
- 约去$(z + 2)^3$，则$\lim_{z \to -2}(z + 2)^3\times\frac{z^2 - 1}{(z + 2)^3}=\lim_{z \to -2}(z^2 - 1)$。
- 根据极限的四则运算法则，$\lim_{z \to -2}(z^2 - 1)=\lim_{z \to -2}z^2-\lim_{z \to -2}1$。
- 由$\lim_{z \to -2}z^2=(-2)^2 = 4$，$\lim_{z \to -2}1 = 1$，可得$\lim_{z \to -2}z^2-\lim_{z \to -2}1=4 - 1=3\neq0$。
- 因为$\lim_{z \to -2}(z + 2)^3 f(z)=3\neq0$，所以$z = -2$为$3$阶极点（或三阶极点）。