[题目]函数 =lg (x+sqrt (1+{x)^2}) 是 ()-|||-A.偶函数-|||-B.奇函数-|||-C.非奇非偶函数-|||-D.以上都不对

考查要点：判断函数的奇偶性，需掌握奇函数和偶函数的定义，以及对数函数的性质。

解题核心思路：

1. 确定定义域：验证函数是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提。
2. 计算$f(-x)$：通过代入$-x$，结合对数运算性质，分析$f(-x)$与$f(x)$的关系。
3. 利用代数变形：通过乘积化简，验证$f(-x) + f(x) = 0$，从而得出奇函数的结论。

破题关键点：

• 定义域分析：证明$x + \sqrt{1+x^2} > 0$对所有实数$x$成立。
• 对数运算性质：将$f(x) + f(-x)$转化为对数的乘积形式，简化计算。
• 代数恒等式：利用平方差公式化简关键乘积项，得出结果为$1$，从而得到$f(x) + f(-x) = 0$。

步骤1：确定定义域
函数$y = \lg(x + \sqrt{1+x^2})$的定义域要求$x + \sqrt{1+x^2} > 0$。

• 当$x \geq 0$时，$\sqrt{1+x^2} \geq |x|$，显然$x + \sqrt{1+x^2} > 0$。
• 当$x < 0$时，$\sqrt{1+x^2} > |x| = -x$，因此$x + \sqrt{1+x^2} > 0$。
  综上，定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。

步骤2：计算$f(-x)$
令$f(x) = \lg(x + \sqrt{1+x^2})$，则：
$f(-x) = \lg(-x + \sqrt{1+(-x)^2}) = \lg(-x + \sqrt{1+x^2}).$

步骤3：分析$f(-x) + f(x)$
利用对数性质$\lg A + \lg B = \lg(AB)$：
$\begin{aligned}f(x) + f(-x) &= \lg\left[(x + \sqrt{1+x^2})(-x + \sqrt{1+x^2})\right] \\&= \lg\left[(\sqrt{1+x^2})^2 - x^2\right] \quad \text{（平方差公式）} \\&= \lg(1 + x^2 - x^2) \\&= \lg 1 = 0.\end{aligned}$

步骤4：结论
由$f(x) + f(-x) = 0$得$f(-x) = -f(x)$，故函数为奇函数。