题目
求函数 =ln (x+sqrt (1+{x)^2}) 的反函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解 $x$ 关于 $y$ 的表达式
由 $y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$，我们首先需要解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。为此，我们先对等式两边取指数函数，得到 $e^y = x + \sqrt{1+x^2}$。
步骤 2：解出 $x$
为了求出 $x$，我们首先将 $e^y$ 表达式中的 $x$ 项和根号项分离，得到 $e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} = -x + \sqrt{1+x^2}$。将两个表达式相加，得到 $e^y + e^{-y} = 2\sqrt{1+x^2}$，从而 $x^2 = \frac{1}{4}(e^y - e^{-y})^2 - 1$。由于 $x$ 和 $\sqrt{1+x^2}$ 都是正的，我们取正根，得到 $x = \frac{1}{2}(e^y - e^{-y})$。
步骤 3：写出反函数
根据步骤 2 的结果，我们可以写出原函数的反函数为 $y = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$。
由 $y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$，我们首先需要解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。为此，我们先对等式两边取指数函数，得到 $e^y = x + \sqrt{1+x^2}$。
步骤 2：解出 $x$
为了求出 $x$，我们首先将 $e^y$ 表达式中的 $x$ 项和根号项分离，得到 $e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} = -x + \sqrt{1+x^2}$。将两个表达式相加，得到 $e^y + e^{-y} = 2\sqrt{1+x^2}$，从而 $x^2 = \frac{1}{4}(e^y - e^{-y})^2 - 1$。由于 $x$ 和 $\sqrt{1+x^2}$ 都是正的，我们取正根，得到 $x = \frac{1}{2}(e^y - e^{-y})$。
步骤 3：写出反函数
根据步骤 2 的结果，我们可以写出原函数的反函数为 $y = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$。