题目

如果齐次线性方程组 } a_(11)x_1 + a_(12)x_2 + ... + a_(1n)x_n = 0 a_(21)x_1 + a_(22)x_2 + ... + a_(2n)x_n = 0 ... a_(n1)x_1 + a_(n2)x_2 + ... + a_(nn)x_n = 0 有非零解，则其系数行列式值为

如果齐次线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases}$ 有非零解，则其系数行列式值为

题目解答

答案

根据齐次线性方程组的理论，对于方程组 \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases} \] 其有非零解的充要条件是系数行列式 $D = \det(A)$ 为零。这里 $A$ 是由系数 $a_{ij}$ 构成的 $n \times n$ 矩阵。因此，若该方程组有非零解，则其系数行列式的值为 $0$。答案：$0$

解析

本题考查齐次线性方程组有非零解的判定定理这一知识点。解题思路是依据齐次线性方程组的基本理论，明确其有非零解与系数行列式之间的关系。

对于给定的齐次线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases}$，设其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$，系数行列式$D = \det(A)$。

根据齐次线性方程组的理论，该方程组有非零解的充要条件是系数行列式$D = 0$。这是因为当$D\neq0$时，根据克莱姆法则，方程组只有零解；而当$D = 0$时，方程组存在非零解。所以，若此齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式的值必然为$0$。