题目
求曲线 {t)^2 y=1-t,0) 处的切线方程与法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定参数 t 的值
给定的点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 在曲线上，因此需要找到对应的参数 t 的值。根据 $x=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，当 $x=\dfrac {1}{2}$ 时，有 $\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，解得 $t=1$ 或 $t=-1$。根据 $y=1-t$，当 $y=0$ 时，有 $0=1-t$，解得 $t=1$。因此，对应的参数值为 $t=1$。
步骤 2：计算导数
为了找到切线方程，我们需要计算曲线在点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 处的导数。根据参数方程，$x=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，$y=1-t$，则 $\dfrac {dx}{dt}=t$，$\dfrac {dy}{dt}=-1$。因此，$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {-1}{t}$。当 $t=1$ 时，$\dfrac {dy}{dx}=-1$，即切线的斜率为 $-1$。
步骤 3：求切线方程
已知切点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 和切线斜率 $-1$，根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入得到 $y-0=-1(x-\dfrac {1}{2})$，整理得 $2x+2y-1=0$。
步骤 4：求法线方程
法线的斜率是切线斜率的负倒数，因此法线的斜率为 $1$。根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入得到 $y-0=1(x-\dfrac {1}{2})$，整理得 $2x-2y-1=0$。
给定的点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 在曲线上，因此需要找到对应的参数 t 的值。根据 $x=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，当 $x=\dfrac {1}{2}$ 时，有 $\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，解得 $t=1$ 或 $t=-1$。根据 $y=1-t$，当 $y=0$ 时，有 $0=1-t$，解得 $t=1$。因此，对应的参数值为 $t=1$。
步骤 2：计算导数
为了找到切线方程，我们需要计算曲线在点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 处的导数。根据参数方程，$x=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，$y=1-t$，则 $\dfrac {dx}{dt}=t$，$\dfrac {dy}{dt}=-1$。因此，$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {-1}{t}$。当 $t=1$ 时，$\dfrac {dy}{dx}=-1$，即切线的斜率为 $-1$。
步骤 3：求切线方程
已知切点 $(\dfrac {1}{2},0)$ 和切线斜率 $-1$，根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入得到 $y-0=-1(x-\dfrac {1}{2})$，整理得 $2x+2y-1=0$。
步骤 4：求法线方程
法线的斜率是切线斜率的负倒数，因此法线的斜率为 $1$。根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入得到 $y-0=1(x-\dfrac {1}{2})$，整理得 $2x-2y-1=0$。