[题目]求极限 lim _(xarrow infty )[ x-(x)^2ln (1+dfrac (1)(x))] .

步骤 1：利用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\ln(1+\frac{1}{x})$ 可以用 $\frac{1}{x}$ 替换，因为 $\ln(1+\frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$，所以原式可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}\cdot \frac{1}{x}] = \lim _{x\rightarrow \infty }[ x-x] = \lim _{x\rightarrow \infty }0 = 0$$
但是，这个替换过于粗糙，没有考虑到更高阶的无穷小量，因此需要更精确的处理。

步骤 2：使用泰勒展开
为了更精确地处理，我们使用 $\ln(1+\frac{1}{x})$ 的泰勒展开式，即：
$$\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O(\frac{1}{x^3})$$
将这个展开式代入原式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O(\frac{1}{x^3}))] = \lim _{x\rightarrow \infty }[ x-x + \frac{1}{2} - O(\frac{1}{x})]$$
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }[ \frac{1}{2} - O(\frac{1}{x})] = \frac{1}{2}$$
因为当 $x \rightarrow \infty$ 时，$O(\frac{1}{x})$ 趋于 0。