题目

14.下列方程确定了y是x的函数,求 dfrac (dy)(dx)-|||-(1) sin y+(e)^x-x(y)^2=0;-|||-(2) ln sqrt ({x)^2+(y)^2}=arctan dfrac (y)(x);-|||-(3) =1+x(e)^y;-|||-(4) ^y=(y)^x.

题目解答

答案

解析

本题主要考查隐函数求导，解题思路是利用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$，其中$F(x,y)=0$确定了$y$是$x$的函数，$F_x$和$F_y$分别是$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。

（1）对于方程$\sin y + e^x - xy^2 = 0$

  • 令$F(x,y)=\sin y + e^x - xy^2$。
  • 求$F_x$：对$F(x,y)$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$F_x = e^x - y^2$。
  • 求$F_y$：对$F(x,y)$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$F_y = \cos y - 2xy$。
  • 当$F_y = \cos y - 2xy\neq 0$时，由隐函数求导公式可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{y^2 - e^x}{\cos y - 2xy}$。

（2）对于方程$\ln\sqrt{x^2 + y^2} = \arctan\frac{y}{x}$

  • 先将方程变形为$F(x,y)=\ln\sqrt{x^2 + y^2} - \arctan\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2) - \arctan\frac{y}{x}$。
  • 求$F_x$：
    • 对$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$关于$x$求偏导数，根据复合函数求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}u^\prime$，可得$(\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2))^\prime=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2x=\frac{x}{x^2 + y^2}$。
    • 对$-\arctan\frac{y}{x}$关于$x$求偏导数，根据复合函数求导公式$(\arctan u)^\prime=\frac{1}{1 + u^2}u^\prime$，可得$(-\arctan\frac{y}{x})^\prime=-\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2}\cdot(-\frac{y}{x^2})=\frac{y}{x^2 + y^2}$。
    • 所以$F_x = \frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{y}{x^2 + y^2}=\frac{x + y}{x^2 + y^2}$。
  • 求$F_y$：
    • 对$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$关于$y$求偏导数，可得$(\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2))^\prime=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2y=\frac{y}{x^2 + y^2}$。
    • 对$-\arctan\frac{y}{x}$关于$y$求偏导数，可得$(-\arctan\frac{y}{x})^\prime=-\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{x}{x^2 + y^2}$。
    • 所以$F_y = \frac{y}{x^2 + y^2} - \frac{x}{x^2 + y^2}=\frac{y - x}{x^2 + y^2}$。
  • 当$F_y = \frac{y - x}{x^2 + y^2}\neq 0$时，由隐函数求导公式可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{x + y}{x - y}$。

（3）对于方程$y = 1 + xe^y$

  • 令$F(x,y)=y - 1 - xe^y$。
  • 求$F_x$：对$F(x,y)$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得$F_x = -e^y$。
  • 求$F_y$：对$F(x,y)$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$可得$F_y = 1 - xe^y$。
  • 当$F_y = 1 - xe^y\neq 0$时，由隐函数求导公式可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-e^y}{1 - xe^y}=\frac{e^y}{1 - xe^y}$。

（4）对于方程$x^y = y^x$

  • 令$F(x,y)=x^y - y^x$。
  • 求$F_x$：
    • 对$x^y$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$(x^y)^\prime = yx^{y - 1}$。
    • 对$-y^x$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(a^x)^\prime=a^x\ln a$可得$(-y^x)^\prime = -y^x\ln y$。
    • 所以$F_x = yx^{y - 1} - y^x\ln y$。
  • 求$F_y$：
    • 对$x^y$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(a^x)^\prime=a^x\ln a$可得$(x^y)^\prime = x^y\ln x$。
    • 对$-y^x$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$(-y^x)^\prime = -xy^{x - 1}$。
    • 所以$F_y = x^y\ln x - xy^{x - 1}$。
  • 当$F_y = x^y\ln x - xy^{x - 1}\neq 0$时，由隐函数求导公式可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{yx^{y - 1} - y^x\ln y}{x^y\ln x - xy^{x - 1}}=\frac{y(x\ln y - y)}{x(y\ln x - x)}$。