单项选择题 【2015年真题】当x →0时,sin3x是2x的（　）A.低阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.高阶无穷小量

本题考查无穷小量阶的比较这一知识点。解题思路是根据无穷小量阶的定义，通过计算两个无穷小量之比的极限来判断它们之间的关系。具体步骤如下：

1. 明确无穷小量阶的比较定义：设$\alpha(x)$和$\beta(x)$是在同一自变量变化过程中的无穷小量，且$\beta(x)\neq0$，计算$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$。
   • 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小量；
   • 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$低阶的无穷小量；
   • 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C\neq0$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小量；
   • 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小量。
2. 对于本题，$\alpha(x)=\sin3x$，$\beta(x)=2x$，计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin3x}{2x}$。
   • 根据等价无穷小替换，当$u\to0$时，$\sin u\sim u$，这里$u = 3x$，当$x\to0$时，$3x\to0$，所以$\sin3x\sim3x$。
   • 则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin3x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{2x}$。
   • 对$\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{2x}$进行化简，$x$约掉，得到$\lim\limits_{x \to 0} \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
   • 因为$\frac{3}{2}\neq0$且$\frac{3}{2}\neq1$，所以$\sin3x$与$2x$是同阶但不等价无穷小量。