3.1 设D是xOy平面上由直线x=2，y=x，与xy=1所围成的区域，求iintlimits_(D)(x^2)/(y^3)dxdy。<|im_end|>答题需要添加视频、文档等文件可添加附件上传，最多上传三个附件，单个附件不超过200M。如需删除附件，可点击删除按钮。

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域，然后将二重积分化为累次积分，最后分别计算内积分和外积分。

1. 确定积分区域：
   • 已知区域 $D$ 由直线 $x = 2$，$y = x$ 与 $xy = 1$（即 $y=\frac{1}{x}$）所围成。
   • 联立 $y = x$ 和 $xy = 1$，可得 $x^2 = 1$，解得 $x = 1$ 或 $x=-1$，结合图形可知在第一象限，所以 $x$ 的范围是 $1\leqslant x\leqslant 2$。
   • 对于每个 $x$ 值，$y$ 的下限是 $y=\frac{1}{x}$，上限是 $y = x$，所以区域 $D$ 可表示为 $D=\{(x,y)\mid 1\leqslant x\leqslant 2,\frac{1}{x}\leqslant y\leqslant x\}$。
2. 设置二重积分：
   • 根据积分区域 $D$，将二重积分 $\iint\limits_{D}\frac{x^{2}}{y^{3}}dxdy$ 化为先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分的累次积分，即 $\iint\limits_{D}\frac{x^{2}}{y^{3}}dxdy=\int_{1}^{2}\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{x^{2}}{y^{3}}dydx$。
3. 计算内积分：
   • 先计算 $\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{x^{2}}{y^{3}}dy$，把 $x$ 看作常数，对 $\frac{x^{2}}{y^{3}}$ 关于 $y$ 积分。
   • 根据积分公式 $\int y^n dy=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得 $\int\frac{x^{2}}{y^{3}}dy=x^{2}\int y^{-3}dy=x^{2}\cdot\frac{y^{-3 + 1}}{-3+1}+C=-\frac{x^{2}}{2y^{2}}+C$。
   • 再根据牛顿 - 莱布尼茨公式 $\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，有 $\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{x^{2}}{y^{3}}dy=x^{2}\left[-\frac{1}{2y^{2}}\right]_{\frac{1}{x}}^{x}$。
   • 代入上下限得：$x^{2}\left(-\frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{2\cdot(\frac{1}{x})^{2}}\right)=x^{2}\left(-\frac{1}{2x^{2}}+\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{x^{4}-1}{2}$。
4. 计算外积分：
   • 计算 $\int_{1}^{2}\frac{x^{4}-1}{2}dx$，根据积分的线性性质 $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得 $\int_{1}^{2}\frac{x^{4}-1}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}(x^{4}-1)dx=\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{2}x^{4}dx-\int_{1}^{2}1dx\right)$。
   • 由积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$ 和 $\int 1dx=x + C$，则 $\int_{1}^{2}x^{4}dx=\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{5}}{5}-\frac{1^{5}}{5}=\frac{32 - 1}{5}=\frac{31}{5}$，$\int_{1}^{2}1dx=[x]_{1}^{2}=2 - 1 = 1$。
   • 所以 $\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{2}x^{4}dx-\int_{1}^{2}1dx\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{31}{5}-1\right)=\frac{1}{2}\times\frac{26}{5}=\frac{13}{5}$。