题目

lim_(n to infty)((1)/(n^2)+(2)/(n^2)+...+(n)/(n^2))=().A. lim_(n to infty)(1)/(n^2)+lim_(n to infty)(2)/(n^2)+...+lim_(n to infty)(n)/(n^2)=0+0+...+0=0B. lim_(n to infty)(1+2+...+n)/(n^2)=inftyC. lim_(n to infty)((1+n)n)/(2n^2)=(1)/(2)D. 极限不存在

$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}})=()$.

A. $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{2}}+\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^{2}}=0+0+\cdots+0=0$

B. $\lim_{n \to \infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}=\infty$

C. $\lim_{n \to \infty}\frac{(1+n)n}{2n^{2}}=\frac{1}{2}$

D. 极限不存在

题目解答

答案

C. $\lim_{n \to \infty}\frac{(1+n)n}{2n^{2}}=\frac{1}{2}$

解析

本题考查数列极限的计算，解题的关键在于先对数列的通项进行化简，再求极限。

  1. 首先，分析原式$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}})$，根据分数加法法则，同分母分数相加，分母不变，分子相加，可将其变形为$\lim_{n \to \infty}\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^{2}}$。
  2. 然后，求分子$1 + 2 + \cdots + n$的和。由等差数列求和公式$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$（其中$a_{1}$为首项，$a_{n}$为末项，$n$为项数），在数列$1,2,\cdots,n$中，$a_{1}=1$，$a_{n}=n$，所以$1 + 2 + \cdots + n=\frac{(1 + n)n}{2}$。
    • 那么原式就变为$\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(1 + n)n}{2}}{n^{2}}$。
  3. 接着，对$\frac{\frac{(1 + n)n}{2}}{n^{2}}$进行化简：
    • 根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，$\frac{\frac{(1 + n)n}{2}}{n^{2}}=\frac{(1 + n)n}{2}\times\frac{1}{n^{2}}=\frac{(1 + n)n}{2n^{2}}$。
    • 进一步展开$\frac{(1 + n)n}{2n^{2}}=\frac{n + n^{2}}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}$。
  4. 最后，求极限$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2})$：
    • 根据极限的加法法则$\lim_{n \to \infty}(a_{n}+b_{n})=\lim_{n \to \infty}a_{n}+\lim_{n \to \infty}b_{n}$，可得$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2})=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}$。
    • 因为$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}=0$，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

对于选项A，极限的加法法则要求各项极限都存在时才能使用，而$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^{2}}$等极限形式不能简单地拆分为$0$相加，所以A错误。
对于选项B，前面已经计算出极限值为$\frac{1}{2}$，不是$\infty$，所以B错误。
对于选项D，已经求出极限值为$\frac{1}{2}$，极限是存在的，所以D错误。