17.(10分)-|||-记Sn为数列(an)的前n项和,已知 _(1)=1 ,(Sn/an) 是公差为 dfrac (1)(3).-|||-(1)求(an)的通项公式;-|||-(2)证明: dfrac (1)({a)_(1)}+dfrac (1)({a)_(2)}+... +dfrac (1)({a)_(n)}lt 2.
题目解答
答案
【答案】
(1)${a}_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$;(2)见解析
【解析】
(1)由题得${S}_{1}={a}_{1}=1$,$\dfrac{{S}_{1}}{{a}_{1}}=1$,
则$\left\{\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}\right\}$是首项为1,公差为$\dfrac{1}{3}$的等差数列,
则$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\left(n-1\right)\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{n+2}{3}$,
所以${S}_{n}=\dfrac{n+2}{3}{a}_{n}$,
当$n\geqslant 2$时,${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\dfrac{n+2}{3}{a}_{n}-\dfrac{n+1}{3}{a}_{n-1}$,
即$\left(n-1\right){a}_{n}=\left(n+1\right){a}_{n-1}$,即$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$,$n\geqslant 2$,
当$n\geqslant 2$时,${a}_{n}=\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}\cdot \dfrac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}\cdot \dfrac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}\cdots \dfrac{{a}_{3}}{{a}_{2}}\cdot \dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\cdot {a}_{1}$
$=\dfrac{n+1}{n-1}\cdot \dfrac{n}{n-2}\cdot \dfrac{n-1}{n-3}\cdots \dfrac{4}{2}\times \dfrac{3}{1}\times 1$
$=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$,又${a}_{1}=1$满足上式,
所以数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的通项公式为${a}_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$;
(2)由(1)可得$\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{2}{n\left(n+1\right)}=2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$,
$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{{a}_{n}}$
$=2\left[\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]$
$=2\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)$
$=2-\dfrac{2}{n+1}\lt 2$.
解析
由题意知，${S}_{1}={a}_{1}=1$，所以$\dfrac{{S}_{1}}{{a}_{1}}=1$。因此，$\{ \dfrac {{S}_{n}}{{a}_{n}}\} $ 是首项为1，公差为 $\dfrac {1}{3}$的等差数列。
步骤 2：求出$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的通项公式
根据等差数列的通项公式，$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=1+\left(n-1\right)\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{n+2}{3}$。
步骤 3：求出${S}_{n}$的表达式
由$\dfrac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=\dfrac{n+2}{3}$，得${S}_{n}=\dfrac{n+2}{3}{a}_{n}$。
步骤 4：求出${a}_{n}$的通项公式
当$n\geqslant 2$时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\dfrac{n+2}{3}{a}_{n}-\dfrac{n+1}{3}{a}_{n-1}$，即$\left(n-1\right){a}_{n}=\left(n+1\right){a}_{n-1}$，即$\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\dfrac{n+1}{n-1}$，$n\geqslant 2$。
当$n\geqslant 2$时，${a}_{n}=\dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}\cdot \dfrac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}\cdot \dfrac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}\cdots \dfrac{{a}_{3}}{{a}_{2}}\cdot \dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}\cdot {a}_{1}$
$=\dfrac{n+1}{n-1}\cdot \dfrac{n}{n-2}\cdot \dfrac{n-1}{n-3}\cdots \dfrac{4}{2}\times \dfrac{3}{1}\times 1$
$=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$，又${a}_{1}=1$满足上式，
所以数列$\left\{{a}_{n}\right\}$的通项公式为${a}_{n}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}$。
(2)步骤 1：求出$\dfrac{1}{{a}_{n}}$的表达式
由(1)可得$\dfrac{1}{{a}_{n}}=\dfrac{2}{n\left(n+1\right)}=2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$。
步骤 2：求出$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{{a}_{n}}$的表达式
$\dfrac{1}{{a}_{1}}+\dfrac{1}{{a}_{2}}+\cdots +\dfrac{1}{{a}_{n}}$
$=2\left[\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]$
$=2\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)$
$=2-\dfrac{2}{n+1}\lt 2$。