题目
=(x)^2sin 2x, 求y(50),
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的导数公式
给定函数 $y = x^2 \sin 2x$，我们需要计算其第50阶导数。首先，我们注意到 $\sin 2x$ 的导数遵循周期性规律，即 ${(\sin 2x)}^{(n)} = 2^n \sin (2x + \frac{n\pi}{2})$。这意味着 $\sin 2x$ 的导数会根据 $n$ 的值周期性地变化。
步骤 2：应用莱布尼茨公式
莱布尼茨公式用于计算两个函数乘积的高阶导数。对于 $y = x^2 \sin 2x$，我们可以将其视为 $u = x^2$ 和 $v = \sin 2x$ 的乘积。根据莱布尼茨公式，$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$，其中 $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $k$ 个元素的组合数。
步骤 3：计算第50阶导数
根据莱布尼茨公式，$y^{(50)} = \sum_{k=0}^{50} \binom{50}{k} (x^2)^{(k)} (\sin 2x)^{(50-k)}$。由于 $(x^2)^{(k)}$ 在 $k > 2$ 时为0，我们只需考虑 $k = 0, 1, 2$ 的情况。同时，$(\sin 2x)^{(50-k)} = 2^{50-k} \sin (2x + \frac{(50-k)\pi}{2})$。因此，$y^{(50)} = 2^{50} x^2 \sin (2x + \frac{50\pi}{2}) + 100 \cdot 2^{49} x \sin (2x + \frac{49\pi}{2}) + 50 \cdot 49 \cdot 2^{48} \sin (2x + \frac{48\pi}{2})$。注意到 $\sin (2x + \frac{50\pi}{2}) = -\sin 2x$，$\sin (2x + \frac{49\pi}{2}) = \cos 2x$，$\sin (2x + \frac{48\pi}{2}) = \sin 2x$，因此 $y^{(50)} = 2^{50} (-x^2 \sin 2x + 50x \cos 2x + \frac{1225}{2} \sin 2x)$。
给定函数 $y = x^2 \sin 2x$，我们需要计算其第50阶导数。首先，我们注意到 $\sin 2x$ 的导数遵循周期性规律，即 ${(\sin 2x)}^{(n)} = 2^n \sin (2x + \frac{n\pi}{2})$。这意味着 $\sin 2x$ 的导数会根据 $n$ 的值周期性地变化。
步骤 2：应用莱布尼茨公式
莱布尼茨公式用于计算两个函数乘积的高阶导数。对于 $y = x^2 \sin 2x$，我们可以将其视为 $u = x^2$ 和 $v = \sin 2x$ 的乘积。根据莱布尼茨公式，$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$，其中 $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取 $k$ 个元素的组合数。
步骤 3：计算第50阶导数
根据莱布尼茨公式，$y^{(50)} = \sum_{k=0}^{50} \binom{50}{k} (x^2)^{(k)} (\sin 2x)^{(50-k)}$。由于 $(x^2)^{(k)}$ 在 $k > 2$ 时为0，我们只需考虑 $k = 0, 1, 2$ 的情况。同时，$(\sin 2x)^{(50-k)} = 2^{50-k} \sin (2x + \frac{(50-k)\pi}{2})$。因此，$y^{(50)} = 2^{50} x^2 \sin (2x + \frac{50\pi}{2}) + 100 \cdot 2^{49} x \sin (2x + \frac{49\pi}{2}) + 50 \cdot 49 \cdot 2^{48} \sin (2x + \frac{48\pi}{2})$。注意到 $\sin (2x + \frac{50\pi}{2}) = -\sin 2x$，$\sin (2x + \frac{49\pi}{2}) = \cos 2x$，$\sin (2x + \frac{48\pi}{2}) = \sin 2x$，因此 $y^{(50)} = 2^{50} (-x^2 \sin 2x + 50x \cos 2x + \frac{1225}{2} \sin 2x)$。