1.13 已知线性规划问题-|||-max z=c1x1+c2x2-|||-s.t.-|||- _{1)+(a)_(12)(x)_(2)leqslant (b)_(1) (a)_(21)(x)_(1)+(a)_(22)(x)_(2)leqslant (b)_(2) (x)_(1),(x)_(2)geqslant 0 0 0 -2 -3-|||-试确定a11,a12,a21,a22,b1,b2,c1,c2的值.

题目考察知识

线性规划单纯形法的最终单纯形表结构，包括基变量、系数矩阵、检验数的经济意义，以及通过最终表反推原问题参数的方法。

关键分析步骤

1. 确定基变量与系数矩阵

最终单纯形表中，基变量为$x_1, x_2$（非基变量为$x_3, x_4$）。根据单纯形表的结构，基变量对应的系数矩阵为单位矩阵，但表中给出的系数矩阵为：
$\begin{bmatrix}\frac{5}{2} & 1 \\1 & 1\end{bmatrix}$
该矩阵实为$B^{-1}A$（$B$为最优基，$A$为原约束系数矩阵），且$B$是原松弛变量$x_3, x_4$对应的单位矩阵（因原问题约束为“≤”，松弛变量为初始基变量），故$B=I$，从而$B^{-1}=I$，因此：
$A = B^{-1}A = \begin{bmatrix}\frac{5}{2} & 1 \\1 & 1\end{bmatrix} \quad \text{？错误！正确逻辑：}$
正确推导：最终表中，非基变量$x_3, x_4$对应的列向量为$B^{-1}N$（$N$为非基变量系数矩阵）。原问题中$N=[x_3,x_4]^T=I$（单位矩阵），故$B^{-1}N=B^{-1}=I$，但表中$x_3,x_4$列向量为$\begin{bmatrix}3/2\\1\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}1/2\\1\end{bmatrix}$，因此：
$B^{-1} = \begin{bmatrix}3/2 & 1/2 \\1 & 1\end{bmatrix}$
原约束系数矩阵$A=[a_{11},a_{12};a_{21},a_{22}]$，则$B^{-1}A=I$（因$B$为最优基，$B^{-1}B=I$），解得：
$A = (B^{-1})^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\-1 & 3\end{bmatrix} \implies a_{11}=1,a_{12}=-2,a_{21}=-1,a_{22}=3$

2. 确定右端项$b_1,b_2$

最终表中基变量的常数项为$B^{-1}b$，表中常数项为$[1/2;1/2]$，故：
$B^{-1}b = \begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix} \implies b = (B^{-1})^{-1}\begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix} \implies b_1=b_2=1/2$

3. 确定目标函数系数$c_1,c_2$

检验数公式：$\sigma_j = c_j - C_B B^{-1}p_j$（$p_j$为变量$j$的系数列）。

• 对$x_1$（基变量）：$\sigma_1=0 = c_1 - C_B B^{-1}p_1$，$p_1=[a_{11};a_{21}]=[1;-1]$，$B^{-1}p_1=[1;0]$（单位向量），故$c_1 = C_{B1}$。
• 对$x_2$（基变量）：$\sigma_2=0 = c_2 - C_B B^{-1}p_2$，$B^{-1}p_2=[0;1]$，故$c_2 = C_{B2}$。
• 对$x_3$（非基变量）：$\sigma_3=-2 = c_3 - C_B B^{-1}p_3$，$c_3=0$（松弛变量目标系数为0），$B^{-1}p_3=[3/2;1]$，故：
  $-2 = 0 - C_{B1}(3/2) - C_{B2}(1)$
• 对$x_4$（非基变量）：$\sigma_4=-3 = c_4 - C_B B^{-1}p_4$，$c_4=0$，$B^{-1}p_4=[1/2;1]$，故：
  $-3 = 0 - C_{B1}(1/2) - C_{B2}(1)$
  联立解得：$C_{B1}=c_1=-1$，$C_{B2}=c_2=5$。