设 z = ln(x^2 + y^2)，则 dz|(1,1) 等于（ ）A. (1)/(2)dx + (1)/(2)dyB. dx + dyC. 2dx + 2dyD. (1)/(4)dx + (1)/(4)dy

本题考查多元函数全微分的计算。解题思路是先求出函数$z = \ln(x^2 + y^2)$关于$x$和$y$的偏导数，再将点$(1,1)$代入偏导数中，最后根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算$dz|_{(1,1)}$。

步骤一：求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$

根据复合函数求导法则，若$z = \ln(u)$，$u = x^2 + y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。

• 对$z = \ln(u)$关于$u$求导，可得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = x^2 + y^2$关于$x$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$。
  将$u = x^2 + y^2$代入$\frac{\partial z}{\partial u}$，再根据复合函数求导法则可得：
  $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2 + y^2}$

步骤二：求$z$关于$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$

同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。

• 已求得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = x^2 + y^2$关于$y$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=2y$。
  将$u = x^2 + y^2$代入$\frac{\partial z}{\partial u}$，再根据复合函数求导法则可得：
  $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2y=\frac{2y}{x^2 + y^2}$

步骤三：将点$(1,1)$代入偏导数中

• 将$(1,1)$代入$\frac{\partial z}{\partial x}$可得：
  $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,1)}=\frac{2\times 1}{1^2 + 1^2}=\frac{2}{2}=1$
• 将$(1,1)$代入$\frac{\partial z}{\partial y}$可得：
  $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(1,1)}=\frac{2\times 1}{1^2 + 1^2}=\frac{2}{2}=1$

步骤四：计算$dz|_{(1,1)}$

根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,1)} = 1$和$\frac{\partial z}{\partial y}|_{(1,1)} = 1$代入可得：
$dz|_{(1,1)} = 1\cdot dx + 1\cdot dy = dx + dy$