12.(单选题,20.0分)-|||-D= |} 2& 4& 3& 2 1& 3& x& x a& 0& x& y 1& 3& 4& 2 | .-|||-设行列式 则D中含元素xy的项为() ()-|||-A 6xy-|||-B 10xy-|||-C times y-|||-D times y

本题考查行列式的定义。解题思路是根据行列式的定义，行列式展开式中的每一项是取自不同行不同列的元素的乘积，要得到含元素 $xy$ 的项，需要找出包含 $x$ 和 $y$ 且满足不同行不同列条件的元素组合，然后根据排列的符号规则确定每一项的符号，最后将这些项相加。

已知行列式 \(D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & x & x \\ a & 0 & x & y \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}\)。
根据行列式的定义，含元素 $xy$ 的项，意味着要从第三行选取 $x$ 和 $y$，即 $a_{33}=x$ 和 $a_{34}=y$。
为了构成行列式展开式中的一项，还需要从第一行和第二行以及第四行选取不同列的元素。

• 对于其中一项，选取 $a_{12} = 2$，$a_{21}=1$，$a_{33}=x$，$a_{44}=2$，其列标排列为 $2134$。
  计算列标排列 $2134$ 的逆序数 $N(2134)$：
  • 从前往后看，$2$ 前面比 $2$ 大的数有 $0$ 个；$1$ 前面比 $1$ 大的数有 $1$ 个（即 $2$）；$3$ 前面比 $3$ 大的数有 $0$ 个；$4$ 前面比 $4$ 大的数有 $0$ 个。
  • 所以 $N(2134)=0 + 1+0 + 0=1$。
  • 根据行列式展开式中项的符号规则，该项符号为 $(-1)^{N(2134)}=(-1)^1=-1$，该项为 $(-1)\times a_{12}\times a_{21}\times a_{33}\times a_{44}=(-1)\times2\times1\times x\times2=- 4xy$。
• 对于另一项，选取 $a_{14}=3$，$a_{21}=1$，$a_{33}=x$，$a_{42}=3$，其列标排列为 $4132$。
  计算列标排列 $4132$ 的逆序数 $N(4132)$：
  • 从前往后看，$4$ 前面比 $4$ 大的数有 $0$ 个；$1$ 前面比 $1$ 大的数有 $1$ 个（即 $4$）；$3$ 前面比 $3$ 大的数有 $1$ 个（即 $4$）；$2$ 前面比 $2$ 大的数有 $2$ 个（即 $3$ 和 $4$）。
  • 所以 $N(4132)=0 + 1+1 + 2=4$。
  • 根据行列式展开式中项的符号规则，该项符号为 $(-1)^{N(4132)}=(-1)^4 = 1$，该项为 $1\times a_{14}\times a_{21}\times a_{33}\times a_{42}=1\times3\times1\times x\times3 = 9xy$。

将这两项相加：$-4xy+9xy = 10xy$。