一个盒子中有2个黑球和1个白球，现从中依次取球，每次取1个，设A_(i)=(第i次取到白球)，i=1,2,3.求P(A_(i))，i=1,2,3.
题目解答
答案
设盒子中2个黑球和1个白球，依次取球。
-
第1次取白球：
概率 $P(A_1) = \frac{1}{3}$（1个白球 out of 3个球）。 -
第2次取白球：
第1次取黑球（概率 $\frac{2}{3}$），第2次取白球（概率 $\frac{1}{2}$），
$P(A_2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。 -
第3次取白球：
前两次取黑球（概率 $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$），第3次取白球（概率1），
$P(A_3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{3}$。
结论：
对于 $i = 1, 2, 3$，$P(A_i) = \frac{1}{3}$。
$\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
本题考查古典概型概率的计算以及全概率公式的应用。解题的关键在于分析每次取球时的情况，对于第$i$次取到白球的概率，需要考虑前面$i - 1$次取球的所有可能情况，然后利用概率的乘法法则和加法法则来计算。
1. 计算$P(A_1)$
第$1$次取球时，盒子里一共有$3$个球，其中$1$个是白球。根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$m$是事件$A$包含的基本事件个数，$n$是样本空间的基本事件总数），可得：
$P(A_1)=\frac{1}{3}$
2. 计算$P(A_2)$
第$2$次取到白球有两种情况：
- 情况一：第$1$次取到黑球，第$2$次取到白球。
第$1$次取到黑球的概率为$\frac{2}{3}$，因为取走一个黑球后，盒子里还剩下$2$个球，其中$1$个是白球，所以第$2$次取到白球的概率为$\frac{1}{2}$。根据概率的乘法法则，这种情况发生的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$。 - 情况二：第$1$次取到白球，第$2$次取到白球。
第$1$次取到白球的概率为$\frac{1}{3}$，取走一个白球后，盒子里还剩下$2$个球，其中$0$个是白球，所以第$2$次取到白球的概率为$0$，这种情况发生的概率为$\frac{1}{3}×0 = 0$。
根据概率的加法法则，$P(A_2)$等于这两种情况发生的概率之和，即：
$P(A_2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+0=\frac{1}{3}$
3. 计算$P(A_3)$
第$3$次取到白球有三种情况：
- 情况一：第$1$次取到黑球，第$2$次取到黑球，第$3$次取到白球。
第$1$次取到黑球的概率为$\frac{2}{3}$，取走一个黑球后，盒子里还剩下$2$个球，其中$1$个是黑球，所以第$2$次取到黑球的概率为$\frac{1}{2}$，取走两个黑球后，盒子里只剩下$1$个白球，所以第$3$次取到白球的概率为$1$。根据概率的乘法法则，这种情况发生的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1$。 - 情况二：第$1$次取到黑球，第$2$次取到白球，第$3$次取到白球。
第$1$次取到黑球的概率为$\frac{2}{3}$，取走一个黑球后，盒子里还剩下$2$个球，其中$1$个是白球，所以第$2$次取到白球的概率为$\frac{1}{2}$，取走一个白球后，盒子里还剩下$1$个球，其中$0$个是白球，所以第$3$次取到白球的概率为$0$，这种情况发生的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×0 = 0$。 - 情况三：第$1$次取到白球，第$2$次取到黑球，第$3$次取到白球。
第$1$次取到白球的概率为$\frac{1}{3}$，取走一个白球后，盒子里还剩下$2$个球，其中$1$个是黑球，所以第$2$次取到黑球的概率为$\frac{1}{2}$，取走一个黑球后，盒子里还剩下$1$个球，其中$0$个是白球，所以第$3$次取到白球的概率为$0$，这种情况发生的概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×0 = 0$。
根据概率的加法法则，$P(A_3)$等于这三种情况发生的概率之和，即：
$P(A_3)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1 + 0 + 0=\frac{1}{3}$
综上，对于$i = 1, 2, 3$，$P(A_i)=\frac{1}{3}$。