59.殷曲线 =dfrac (1)(x) 与直线 y=x 及 y=2 所围区域为D,-|||-(1)求区域D分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积;-|||-(2)求区域D分别绕 x=2 和 y=2 旋转所得旋转体的体积.

考察知识

定积分在几何中的应用，主要是利用定积分计算旋转体体积，涉及旋转体体积的圆盘法、壳层法及平移变换。

题目(1)：区域D绕x轴和y轴旋转的体积

步骤1：确定区域D的范围

曲线 $y=\frac{1}{x}$ 与直线 $y=x$、$y=2$ 的交点：

• $y=x$ 与 $y=\frac{1}{x}$ 交于 $(1,1)$；
• $y=2$ 与 $y=x$ 交于 $(2,2)$；
• $y=2$ 与 $y=\frac{1}{x}$ 交于 $\left(\frac{1}{2},2\right)$。

区域D的范围：

• $x \in [\frac{1}{2},1]$ 时，上边界 $y=2$，下边界 $y=\frac{1}{x}$；
• $x \in [1,2]$ 时，上边界 $y=2$，下边界 $y=x$。。

(1.1) 绕x轴旋转的体积 $V_x$

用圆盘法：$V_x = \pi \int_{a}^{b} [上边界^2 - 下边界^2] dx$
$\begin{align*}V_x &= \pi \left[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(2^2 - \left(\frac{1}{x}\right)^2\right) dx + \int_{1}^{2} (2^2 - x^2) dx \right] \\&= \pi \left[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (4 - \frac{1}{x^2}) dx + \int_{1}^{2} (4 - x^2) dx \right] \\&= \pi \left[ \left(4x + \frac{1}{x}\right)\bigg|_{\frac{1}{2}}^{1} + \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{1}^{2} \right] \\&= \text{计算得：} \pi \left[ \left(4 + 1 - 2 - 2\right) + \left(\frac{8 - \frac{8}{3}\}) - (4 - \frac{1}{3})\right) \right] = \frac{111}{6}\pi\end{align*}$

(1.2) 绕y轴旋转的体积 $V_y$

用壳层法：$V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot (上边界 - 下边界) dx$
$\begin{align*}V_y &= 2\pi \left[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} x \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx + \int_{1}^{2} x(2 - x) dx \right] \\&= 2\pi \left[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1) dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx \right] \\&= 2\pi \left[ \left(x^2 - \ln x\right)\bigg|_{\frac{1}{2}}^{1} + \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{1}^{2} \right] \\& \text{计算得：} 2\pi \ \left[ \left(1 - 0 - \left(\frac{1}{4} - \ln \frac{1}{2}\right)\right) + \left((4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3})\right)\right] = \frac{frac{8}{3}\pi\end{align*}$

题目(2)：区域D绕x=2和y=2旋转的体积

(2.1) 绕x=2旋转的体积 $V_{x=2}$

用平移法：$x' = 2 - x$（旋转轴为x'=0），用壳层法：
$V_{x=2} = \pi \int_{c}^{d} [外半径^2 - 内半径^2] dy$
区域D的y范围：$y \in [1,2]$，对应x范围：$x=\frac{1}{y}$ 到 $x=y$，则：
$\begin{align*}V_{x=2} &= \pi \int_{1}^{2} \left[(2 - \frac{1}{y})^2 - (2 - y)^2\right] dy \\&= \pi \int_{1}^{2} \left[(4 - \frac{4}{y} + \frac{1}{y^2}) - (4 - 4y + y^2)\right] dy \\&= \pi \int_{1}^{2} \left(-\{{- \frac{4}{y} + \frac{1}{y^2} + 4y - y^2\right\} dy \\\end{align*}$
计算得：$\pi \left[ -4\ln y - \frac{1}{y} + 2y^2 - \frac{y^3}{3}}\right]_{1}^{2} = (3 - 4\ln 2 + \frac{1}{3})\pi$

(2.2) 绕y=2旋转的体积 $V_{y=2}$

平移法：$y' = 2 - y$，用圆盘法： $V_{y=2} = \pi \int_{a}^{b} [外半径^2 - 内半径^2] dx \) \[\begin{align*}V_{y=2} &= \pi \left[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2 - \frac\frac{1}{x})^2 - 0^2 dx + \int_{1}^{2} (2 - x)^2 - 0^2 dx \right] \\&= \pi \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 - x)^2 dx \quad (\text{text{合并积分}}) \\&= \pi \left[ -\frac{1}{3}(2 - x)^3\right]_{\frac{frac{1}{2}}}^{2} = \pi \left[ 0 - \left(-\frac{1}{3}\left(2 - \frac{3}{2}\right)^3\right)\right] = \left(\frac{10}{3} - 4\ln2\right)\pi\end{align*}$