题目

口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码。（1）试求出X的分布列（2）写出X的分布函数，并作图。

口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码。

（1）试求出X的分布列

（2）写出X的分布函数，并作图。

题目解答

答案

（1）从5个球中任取3个，共有 $\binom{5}{3}$ =10种等可能取法.X为取出的3个球中的最大号码,则X的可能取值为3，4，5.因为P(X=i)=P(X≤i)-P(X≤i-1),且当i≥3时，有P(X≤i)= $\frac{\binom{i}{3} }{10}$ ,所以

$\begin{aligned}P(X=3)&=P(X\leqslant3)-P(X\leqslant2)=\frac{\binom33}{10}-0=\frac1{10},\\P(X=4)&=P(X\leqslant4)-P(X\leqslant3)=\frac{\binom43}{10}-\frac1{10}=\frac3{10}.\\P(X=5)&=P(X\leqslant5)-P(X\leqslant4)=1-\frac{\binom43}{10}=\frac6{10}.\end{aligned}$

所以X的分布列为

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{X}&3&4&5\\\hline\\\text{P}&0.1&0.3&0.6\\\\\hline\end{array}$

(2)由分布函数的定义知

$F(x)=P(X\le x)=\begin{cases}0,&x<3,\\0.1,&3\le x<4,\\0.4,&4\le x<5,\\1,&x\geqslant5.\end{cases}$

并作出F(x)的图形如下

解析

步骤 1：确定X的可能取值
X表示取出的3个球中的最大号码，因此X的可能取值为3，4，5。
步骤 2：计算X取每个值的概率
- 当X=3时，取出的3个球只能是1，2，3，因此P(X=3)=1/C(5,3)=1/10=0.1。
- 当X=4时，取出的3个球可以是1，2，4；1，3，4；2，3，4，因此P(X=4)=3/C(5,3)=3/10=0.3。
- 当X=5时，取出的3个球可以是1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5；3，4，5，因此P(X=5)=6/C(5,3)=6/10=0.6。
步骤 3：写出X的分布函数
根据分布函数的定义，F(x)=P(X≤x)，因此
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 3,\\ 0.1,\quad 3\leqslant x\lt 4\\ 0.4,\quad 4\leqslant x\lt 5\\ 1,\quad x\geqslant 5.\end{matrix} \right.$