题目
设函数 f(x)在点 x_0 的某一邻域 U(x_0)内具有各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成 x_0 泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 R_n(x)A. lim_(n to infty) R_n(x)= 0 B. lim_(n to infty) R_n(x)= 1 C. lim_(n to infty) R_n(x)= - infty D. lim_(n to infty) R_n(x)= + infty
设函数 $f(x)$在点 $x_0 $的某一邻域 $U(x_0)$内具有各阶导数,则 $f(x)$在该邻域内能展开成 $x_0 $泰勒级数的充分必要条件是 $f(x)$的泰勒公式中的余项 $R_n(x)$
A. $$ $\lim_{n \to \infty}\ \ R\_n(x)= 0$ $$
B. $$ $\lim_{n \to \infty}\ \ R\_n(x)= 1$ $$
C. $$ $\lim_{n \to \infty}\ \ R\_n(x)= - \infty$ $$
D. $$ $\lim_{n \to \infty}\ \ R\_n(x)= + \infty$ $$
题目解答
答案
A. $$ $\lim_{n \to \infty}\ \ R\_n(x)= 0$ $$
解析
步骤 1：理解泰勒级数的定义
泰勒级数是函数在某一点的无穷级数展开，它由函数在该点的各阶导数值决定。泰勒级数的表达式为：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $$
其中，$f^{(n)}(x_0)$表示函数$f(x)$在$x_0$点的第$n$阶导数。
步骤 2：理解泰勒公式的余项
泰勒公式中的余项$R_n(x)$表示泰勒级数展开式与原函数$f(x)$之间的差值。余项$R_n(x)$的表达式为：
$$ R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$
余项$R_n(x)$的极限值决定了泰勒级数是否收敛于原函数$f(x)$。
步骤 3：判断泰勒级数的收敛条件
根据泰勒级数的定义和余项的表达式，可以得出$f(x)$在$x_0$点的泰勒级数展开式收敛于$f(x)$的充分必要条件是余项$R_n(x)$的极限值为0，即：
$$ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 $$
泰勒级数是函数在某一点的无穷级数展开，它由函数在该点的各阶导数值决定。泰勒级数的表达式为：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $$
其中，$f^{(n)}(x_0)$表示函数$f(x)$在$x_0$点的第$n$阶导数。
步骤 2：理解泰勒公式的余项
泰勒公式中的余项$R_n(x)$表示泰勒级数展开式与原函数$f(x)$之间的差值。余项$R_n(x)$的表达式为：
$$ R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$
余项$R_n(x)$的极限值决定了泰勒级数是否收敛于原函数$f(x)$。
步骤 3：判断泰勒级数的收敛条件
根据泰勒级数的定义和余项的表达式，可以得出$f(x)$在$x_0$点的泰勒级数展开式收敛于$f(x)$的充分必要条件是余项$R_n(x)$的极限值为0，即：
$$ \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 $$