题目
6.已知命题 :forall xin R,a(x)^2+2x+3gt 0 为真命题,则实数a的取值范围是 ()-|||-A. a|0lt aleqslant dfrac {1)(2)} B. a|0lt alt dfrac {1)(3)} C. a|ageqslant dfrac {1)(3)} D. a|agt dfrac {1)(3)}
题目解答
答案
由题意得，命题p：∀x∈R，$ax^{2}+2x+3$＞0为真命题，
当a=0时，2x+3＞0显然不恒成立，所以a≠0，
则$\left \{ \begin{matrix} a\gt 0\\ \Delta =4-12a\lt 0\end{matrix} \right.$，解得$a\gt \dfrac {1}{3}$，
所以实数a的取值范围是$\{ a|a\gt \dfrac {1}{3}\} $，
故选：D．
当a=0时，2x+3＞0显然不恒成立，所以a≠0，
则$\left \{ \begin{matrix} a\gt 0\\ \Delta =4-12a\lt 0\end{matrix} \right.$，解得$a\gt \dfrac {1}{3}$，
所以实数a的取值范围是$\{ a|a\gt \dfrac {1}{3}\} $，
故选：D．
解析
步骤 1：分析命题条件
命题 $p:\forall x\in R,a{x}^{2}+2x+3\gt 0$ 为真命题，意味着对于所有实数 $x$，二次函数 $ax^{2}+2x+3$ 的值都大于0。这要求二次函数的开口向上（即 $a>0$）且没有实数根（即判别式 $\Delta<0$）。
步骤 2：确定开口方向
由于二次函数的开口方向由 $a$ 的符号决定，且题目要求 $ax^{2}+2x+3>0$ 对所有 $x$ 成立，因此 $a$ 必须大于0。
步骤 3：计算判别式
二次函数 $ax^{2}+2x+3$ 的判别式为 $\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\times a\times 3 = 4-12a$。为了保证二次函数没有实数根，判别式必须小于0，即 $4-12a<0$，解得 $a>\frac{1}{3}$。
步骤 4：综合条件
结合步骤2和步骤3，我们得到 $a$ 的取值范围为 $a>\frac{1}{3}$。
命题 $p:\forall x\in R,a{x}^{2}+2x+3\gt 0$ 为真命题，意味着对于所有实数 $x$，二次函数 $ax^{2}+2x+3$ 的值都大于0。这要求二次函数的开口向上（即 $a>0$）且没有实数根（即判别式 $\Delta<0$）。
步骤 2：确定开口方向
由于二次函数的开口方向由 $a$ 的符号决定，且题目要求 $ax^{2}+2x+3>0$ 对所有 $x$ 成立，因此 $a$ 必须大于0。
步骤 3：计算判别式
二次函数 $ax^{2}+2x+3$ 的判别式为 $\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\times a\times 3 = 4-12a$。为了保证二次函数没有实数根，判别式必须小于0，即 $4-12a<0$，解得 $a>\frac{1}{3}$。
步骤 4：综合条件
结合步骤2和步骤3，我们得到 $a$ 的取值范围为 $a>\frac{1}{3}$。