25.[填空题]平面x+2y-z-3=0和平面2x+y+z+5=0的夹角是____ 第一空： ——

本题考查知识点为两平面夹角的计算，解题思路是先找出两个平面的法向量，然后通过法向量的点积公式求出两法向量夹角的余弦值，最后根据两平面夹角与法向量夹角的关系得到两平面的夹角。

步骤一：确定两个平面的法向量

对于平面$Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为$\overrightarrow{N}=(A,B,C)$。
已知平面$x + 2y - z - 3 = 0$，则该平面的法向量$\overrightarrow{m}=(1,2, - 1)$；
平面$2x + y + z + 5 = 0$，其法向量$\overrightarrow{n}=(2,1,1)$。

步骤二：计算两个法向量的点积

根据向量点积的坐标运算公式，若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
所以$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=1\times2 + 2\times1+( - 1)\times1$
$=2 + 2 - 1$
$=3$

步骤三：计算两个法向量的模长

根据向量模长的计算公式，若$\overrightarrow{a}=(x,y,z)$，则$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。
对于$\overrightarrow{m}=(1,2, - 1)$，$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1 + 4 + 1}=\sqrt{6}$；
对于$\overrightarrow{n}=(2,1,1)$，$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1 + 1}=\sqrt{6}$。

步骤四：计算两平面夹角的余弦值

设两平面的夹角为$\theta$（$0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}$），两平面法向量的夹角为$\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle$，则$\cos\theta =|\cos\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle|$。
根据向量点积公式$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\times|\overrightarrow{n}|\times\cos\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle$，可得$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\times|\overrightarrow{n}|}$。
将$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=3$，$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{6}$代入上式，得$\cos\theta=\frac{|3|}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

步骤五：求出两平面的夹角

因为$\cos\theta=\frac{1}{2}$，且$0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}$，所以$\theta=\arccos\frac{1}{2}=60^{\circ}$。