题目
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”，当售价定为 44 元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定提价销售， 若要使销售利润达到最大，则售价应为（ ）。 A、51元B、52元C、54元D、57元
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”，当售价定为 44 元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定提价销售， 若要使销售利润达到最大，则售价应为（ ）。
- A、51元
- B、52元
- C、54元
- D、57元
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：确定利润函数
设售价为 \(x\) 元，利润为 \(P\) 元。根据题意，售价每上涨 1 元，销量减少 10 个。因此，当售价为 \(x\) 元时，销量为 \(300 - 10(x - 44)\) 个。利润 \(P\) 可以表示为售价与进价之差乘以销量，即：
\[ P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)] \]
步骤 2：化简利润函数
将利润函数化简为：
\[ P = (x - 40) \times (300 - 10x + 440) \]
\[ P = (x - 40) \times (740 - 10x) \]
\[ P = -10x^2 + 1140x - 29600 \]
步骤 3：求利润函数的最大值
利润函数 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。二次函数 \(ax^2 + bx + c\) 的顶点坐标为 \((-b/2a, P(-b/2a))\)。因此，售价 \(x\) 的最大利润点为：
\[ x = -\frac{1140}{2 \times (-10)} = 57 \]
设售价为 \(x\) 元，利润为 \(P\) 元。根据题意，售价每上涨 1 元，销量减少 10 个。因此，当售价为 \(x\) 元时，销量为 \(300 - 10(x - 44)\) 个。利润 \(P\) 可以表示为售价与进价之差乘以销量，即：
\[ P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)] \]
步骤 2：化简利润函数
将利润函数化简为：
\[ P = (x - 40) \times (300 - 10x + 440) \]
\[ P = (x - 40) \times (740 - 10x) \]
\[ P = -10x^2 + 1140x - 29600 \]
步骤 3：求利润函数的最大值
利润函数 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。二次函数 \(ax^2 + bx + c\) 的顶点坐标为 \((-b/2a, P(-b/2a))\)。因此，售价 \(x\) 的最大利润点为：
\[ x = -\frac{1140}{2 \times (-10)} = 57 \]