int dfrac (2cdot {3)^x-5cdot (2)^x}({3)^x}dx-|||-__；
；
题目解答
答案
首先，我们将被积函数进行简化:
然后，我们将积分分成两个部分:
第一个部分的积分很简单:
，其中 
是积分常数。
第二个部分的积分需要进行变量代换。令 
。代入积分中得:
化简后，得到:
接着，我们将 
表示为 
，以便进行变量代换。此时 
。将这个代换 带入积分，得到:
现在，我们可以看到这个积分是可分离的。进行计算得:
再次进行变量代换: 令 
，则 
，从而
。代入积分中 得:
化简后，得到:
继续计算这个简单的积分，得到:
，其中
是积分常数。
最后，代入 ，得到第二个部分的积分结果为:
综合两个部分的结果，最终的积分结果为:
其中 
是积分常数。
解析
考查要点：本题主要考查分式积分的化简与指数函数的积分方法。关键在于将被积函数拆分为简单项的组合，并利用指数函数的积分公式。
解题思路：
- 分式拆分：将分子拆分为两个项，分别除以分母，简化被积函数。
- 分项积分：将积分拆分为两个简单积分的差。
- 指数积分公式：对形如$a^x$的积分直接应用公式$\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$。
破题关键：通过拆分简化被积函数，避免复杂的变量代换，直接应用指数积分公式。
步骤1：分式拆分
将被积函数拆分为两个项的差：
$\frac{2 \cdot 3^x - 5 \cdot 2^x}{3^x} = \frac{2 \cdot 3^x}{3^x} - \frac{5 \cdot 2^x}{3^x} = 2 - 5 \left( \frac{2}{3} \right)^x.$
步骤2：分项积分
将原积分拆分为两个积分之差：
$\int \left( 2 - 5 \left( \frac{2}{3} \right)^x \right) dx = \int 2 dx - 5 \int \left( \frac{2}{3} \right)^x dx.$
步骤3：计算第一部分积分
直接积分：
$\int 2 dx = 2x + C_1.$
步骤4：计算第二部分积分
应用指数积分公式$\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$，其中$a = \dfrac{2}{3}$：
$\int \left( \frac{2}{3} \right)^x dx = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^x}{\ln \left( \frac{2}{3} \right)} + C_2.$
因此：
$-5 \int \left( \frac{2}{3} \right)^x dx = -5 \cdot \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^x}{\ln \left( \frac{2}{3} \right)} + C_2.$
步骤5：合并结果
综合两部分结果，合并常数项：
$\int \frac{2 \cdot 3^x - 5 \cdot 2^x}{3^x} dx = 2x - \frac{5 \left( \frac{2}{3} \right)^x}{\ln \left( \frac{2}{3} \right)} + C.$