已知函数f（x）=(2x)/(1+(x)^2)，求：（1）函数f（x）的极值，单调区间；（2）确定方程f（x）=(1)/(2)在（-1，1）内的实根个数．（直接写结果，不必说明理由）

解：（1）已知f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，函数定义域为R，
可得f′（x）=$\frac{2-2x^{2}}{（x^{2}+1）^{2}}$，
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
此时函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-1，+∞），（1，+∞），
所以当x=-1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（-1）=-1，
当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（1）=1；
（2）要求方程f（x）=$\frac{1}{2}$在（-1，1）内的实根个数，
即求函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$在（-1，1）与x轴的交点个数，
易知g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{-x^{2}+4x-1}{2（1+x^{2}）}$，函数定义域为（-1，1），
易知2（1+x²）＞0在（-1，1）上恒成立，
不妨设h（x）=-x²+4x-1，函数定义域为（-1，1），
因为函数h（x）是开口向下的二次函数，对称轴x=2，
所以函数h（x）在定义域上单调递增，
即函数g（x）在（-1，1）上单调递增，
又g（-1）=-$\frac{3}{2}$＜0，g（1）=$\frac{1}{2}$＞0，
所以在区间（-1，1）上存在x₀，使得g（x₀）=0，
则函数g（x）在（-1，1）上与x轴有且仅有一个交点，
故方程f（x）=$\frac{1}{2}$在（-1，1）内共有1个实根．