8.4.35 空间曲线 {}2x^2 -3y^2 -2yz+3z^2 +3z=02x+z=1.在 xOy平面上的投影方程为() A. {}14x^2 -3y^2 +4xy-18x-2y+6=0z=0. B. {}14x^2 -3y^2 +4xy+18x-2y+6=0z=0. C. {}14x^2 -3y^2 +4xy+18x+2y+6=0z=0. D. {}14x^2 -3y^2 +4xy-18x+2y-6=0z=0.

步骤 1：代入消元
将第二个方程 $2x + z = 1$ 中的 $z$ 用 $1 - 2x$ 替换，代入第一个方程 $2x^{2} - 3y^{2} - 2yz + 3z^{2} + 3z = 0$ 中，得到关于 $x$ 和 $y$ 的方程。
步骤 2：化简方程
将 $z = 1 - 2x$ 代入 $2x^{2} - 3y^{2} - 2y(1 - 2x) + 3(1 - 2x)^{2} + 3(1 - 2x) = 0$，化简得到 $x$ 和 $y$ 的方程。
步骤 3：整理方程
整理得到的方程，使其成为 $xOy$ 平面上的投影方程。
【答案】
A. $$ $\left\{\begin{matrix}14x^{2}\ \ -3y^{2}\ \ +4xy-18x-2y+6=0\z=0\end{matrix}\right.$ $$
【解析】
步骤 1：代入消元
将 $z = 1 - 2x$ 代入 $2x^{2} - 3y^{2} - 2yz + 3z^{2} + 3z = 0$，得到 $2x^{2} - 3y^{2} - 2y(1 - 2x) + 3(1 - 2x)^{2} + 3(1 - 2x) = 0$。
步骤 2：化简方程
化简得到 $2x^{2} - 3y^{2} - 2y + 4xy + 3(1 - 4x + 4x^{2}) + 3 - 6x = 0$，即 $2x^{2} - 3y^{2} - 2y + 4xy + 3 - 12x + 12x^{2} + 3 - 6x = 0$。
步骤 3：整理方程
整理得到 $14x^{2} - 3y^{2} + 4xy - 18x - 2y + 6 = 0$，即 $xOy$ 平面上的投影方程。