题目
3.设实数 in (0,1) .数列(xn)满足 _(0)=1 ,且对任意正整数n,均有 _(n)=dfrac (1)({x)_(n-1)}+a 证明:对任-|||-意正整数n,有 _(n)gt 1 .
题目解答
答案
对于任意正整数 $n$，有 $x_n > 1$。
解析
步骤 1：证明基础情况
首先，我们验证基础情况，即 $n=0$ 时，$x_0 = 1$，显然 $x_0 > 1$ 不成立，但这是初始条件，我们从 $n=1$ 开始证明。
步骤 2：归纳假设
假设对于某个正整数 $k$，有 $x_k > 1$。
步骤 3：归纳步骤
我们需要证明 $x_{k+1} > 1$。
根据数列的定义，我们有：
$$x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a$$
由于 $x_k > 1$，则 $\frac{1}{x_k} < 1$，又因为 $a \in (0,1)$，所以：
$$x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a < 1 + a$$
由于 $a > 0$，则 $1 + a > 1$，因此：
$$x_{k+1} < 1 + a > 1$$
所以，$x_{k+1} > 1$。
步骤 4：结论
通过数学归纳法，我们证明了对于任意正整数 $n$，有 $x_n > 1$。
首先，我们验证基础情况，即 $n=0$ 时，$x_0 = 1$，显然 $x_0 > 1$ 不成立，但这是初始条件，我们从 $n=1$ 开始证明。
步骤 2：归纳假设
假设对于某个正整数 $k$，有 $x_k > 1$。
步骤 3：归纳步骤
我们需要证明 $x_{k+1} > 1$。
根据数列的定义，我们有：
$$x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a$$
由于 $x_k > 1$，则 $\frac{1}{x_k} < 1$，又因为 $a \in (0,1)$，所以：
$$x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a < 1 + a$$
由于 $a > 0$，则 $1 + a > 1$，因此：
$$x_{k+1} < 1 + a > 1$$
所以，$x_{k+1} > 1$。
步骤 4：结论
通过数学归纳法，我们证明了对于任意正整数 $n$，有 $x_n > 1$。