题目

讨论x=0和x=-1分别是函数(x)=dfrac (x({x)^2-4)}(sin pi x)的哪一种间断点.

讨论x=0和x=-1分别是函数 $f(x)=\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$ 的哪一种间断点.

题目解答

答案

先讨论x=0时

$\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=-\frac{4}{\pi}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$

可知，该点为可去间断点

对于x=1，有

$\lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{-3}{\sin\pi x}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{-3}{\sin\pi x}=\infty$

可知，该点为无穷间断点

综上，得x=0为可去间断点，x=-1为无穷间断点