题目
设Dk是圆域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1} 位于第k象-|||-限的部分, _(k)=(iint )_(k)(y-x)dxdy(k=1,2,3,4), 则_ __-|||-A. _(1)gt 0 B. _(2)gt 0 C. _(3)gt 0 D. _(4)gt 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
圆域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\}$ 位于第k象限的部分，即Dk是圆域D在第k象限的部分。因此，D1、D2、D3、D4分别位于第一、二、三、四象限。
步骤 2：利用对称性分析
由于圆域D关于x轴和y轴对称，因此在第一象限和第三象限，以及第二象限和第四象限，积分区域的对称性可以用来简化问题。具体来说，对于第一象限和第三象限，由于y-x在第一象限为正，在第三象限为负，且区域面积相等，因此${I}_{1}={I}_{3}=0$。
步骤 3：计算第二象限和第四象限的积分
在第二象限，y-x>0，因此${I}_{2}=\iint (y-x)dxdy>0$。在第四象限，y-x<0，因此${I}_{4}=\iint (y-x)dxdy<0$。
圆域 $D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\}$ 位于第k象限的部分，即Dk是圆域D在第k象限的部分。因此，D1、D2、D3、D4分别位于第一、二、三、四象限。
步骤 2：利用对称性分析
由于圆域D关于x轴和y轴对称，因此在第一象限和第三象限，以及第二象限和第四象限，积分区域的对称性可以用来简化问题。具体来说，对于第一象限和第三象限，由于y-x在第一象限为正，在第三象限为负，且区域面积相等，因此${I}_{1}={I}_{3}=0$。
步骤 3：计算第二象限和第四象限的积分
在第二象限，y-x>0，因此${I}_{2}=\iint (y-x)dxdy>0$。在第四象限，y-x<0，因此${I}_{4}=\iint (y-x)dxdy<0$。