2.lim_(xtoinfty)((x+1)/(x))^-(x)/(2)= （ ）A.e^-2 B.e^-(1)/(2) C.e^(1)/(2) D.e^2
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}$，我们可以使用自然对数和指数函数的性质。下面是一个逐步的解题过程：
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将表达式改写为指数形式：
$\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}} = e^{\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right)}$
利用对数的性质 $\ln(a^b) = b\ln(a)$，我们得到：
$\ln\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right) = -\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$
所以，原极限可以写为：
$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}} = \lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)}$ -
求解指数部分的极限：
我们需要求解：
$\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$
首先，简化对数内的表达式：
$\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$
所以，极限变为：
$\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ -
使用对数的近似：
当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{x}$ 趋于 0。对于小的 $y$，我们有 $\ln(1 + y) \approx y$。因此，当 $x$ 趋于无穷大时，$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$。代入这个近似，我们得到：
$\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ -
将结果代回指数形式：
$\lim_{x\to\infty} e^{-\frac{x}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)} = e^{-\frac{1}{2}}$
因此，原极限的值是 $e^{-\frac{1}{2}}$。正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
本题考查重要极限 $\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$ 的应用以及对数函数的性质来求解极限。解题思路是先将原式进行变形，利用对数性质将指数形式转化为便于计算的形式，再通过等价无穷小替换简化计算，最后根据指数函数的连续性求出原极限的值。
- 将原式变形为指数形式：
根据指数函数和对数函数的关系 $a = e^{\ln a}$，对于 $\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}$，有：
$\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}} = e^{\ln\left(\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right)}$ - 利用对数性质化简指数部分：
根据对数性质 $\ln(a^b) = b\ln a$，可得：
$\ln\left(\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right)=-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)$
所以原极限 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}$ 可转化为 $\lim_{x\to\infty}e^{-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)}$。 - 化简对数内的表达式：
$\frac{x + 1}{x}=1+\frac{1}{x}$，则极限变为 $\lim_{x\to\infty}e^{-\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}$。 - 利用等价无穷小替换计算指数部分的极限：
当 $x\to\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to0$，根据等价无穷小 $\ln(1 + y)\sim y$（当 $y\to0$），这里 $y = \frac{1}{x}$，所以 $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\sim\frac{1}{x}$。
则 $\lim_{x\to\infty}-\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}-\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}$。
计算 $\lim_{x\to\infty}-\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。 - 根据指数函数的连续性求出原极限的值：
因为指数函数 $y = e^x$ 是连续函数，所以 $\lim_{x\to\infty}e^{-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)}=e^{\lim_{x\to\infty}-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)}$。
由前面计算可知 $\lim_{x\to\infty}-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)=-\frac{1}{2}$，所以 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x + 1}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}$。