9. (20.0分) 求同余式组{}x=2(mod3)x=2(mod4)x=1(mod5).的最小正整数解和所有正整数解.

### 问题解析 题目要求解一个同余式组的最小正整数解和所有正整数解。同余式组如下： \[ \left\{ \begin{matrix} x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 2 \pmod{4} \\ x \equiv 1 \pmod{5} \end{matrix} \right. \] ### 解题步骤 1. **合并前两个同余式**： \[ x \equiv 2 \pmod{3} \] \[ x \equiv 2 \pmod{4} \] 由于 $x \equiv 2 \pmod{3}$ 和 $x \equiv 2 \pmod{4}$，我们可以写成： \[ x = 3k + 2 \] \[ x = 4m + 2 \] 由于 $x$ 在两个同余式中都等于 2，我们可以直接合并这两个同余式为： \[ x \equiv 2 \pmod{12} \] 这是因为 3 和 4 的最小公倍数是 12。 2. **将合并后的同余式与第三个同余式联立**： \[ x \equiv 2 \pmod{12} \] \[ x \equiv 1 \pmod{5} \] 设 $x = 12k + 2$，代入第三个同余式： \[ 12k + 2 \equiv 1 \pmod{5} \] 化简得： \[ 12k + 2 \equiv 1 \pmod{5} \] \[ 2k + 2 \equiv 1 \pmod{5} \] \[ 2k \equiv -1 \pmod{5} \] \[ 2k \equiv 4 \pmod{5} \] \[ k \equiv 2 \pmod{5} \] 因此，$k$ 可以写成： \[ k = 5m + 2 \] 代入 $x = 12k + 2$： \[ x = 12(5m + 2) + 2 \] \[ x = 60m + 26 \] 3. **得出所有正整数解**： \[ x = 60m + 26 \] 其中 $m$ 是任意非负整数。 4. **求最小正整数解**： 当 $m = 0$ 时，$x = 26$。 ### 最终答案 - **最小正整数解**：26 - **所有正整数解**：$x = 60m + 26$，其中 $m$ 是任意非负整数。