设((sin )^2x)=dfrac (x)(sin x)，求((sin )^2x)=dfrac (x)(sin x) .

步骤 1：确定函数$f(x)$的表达式
令$u={\sin }^{2}x$，则有$\sin x=\sqrt{u}$，$x=\arcsin \sqrt{u}$。因此，$f(u)=\dfrac{\arcsin \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$，即$f(x)=\dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。

步骤 2：代入$f(x)$的表达式
将$f(x)=\dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$代入$\int \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx$，得到$\int \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}\cdot \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$。

步骤 3：化简积分表达式
化简得到$\int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx$。

步骤 4：使用分部积分法
令$u=\arcsin \sqrt{x}$，$dv=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}dx$，则$du=\dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}dx$，$v=-2\sqrt{1-x}$。根据分部积分法，$\int udv=uv-\int vdu$，得到$\int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\int \dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$。

步骤 5：计算剩余积分
计算剩余积分$\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$，得到$\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}$。

步骤 6：合并结果
合并结果得到$-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{x}+C$。