二、填空题（共5题，53.0分）12.（填空题，18.0分）盒中有100张奖券，面值5元、10元、和50元的分别有60张、30张、和10张，每次从盒中随机抽取一张1）若有放回地随机抽取10张，则抽到总金额的数学期望为多少____.2）若不放回地随机抽取10张，则抽到总金额的数学期望为多少____.3）若有放回地随机抽取10张，抽到奖券总金额的方差又是多少____.

考查要点：本题主要考查数学期望和方差的计算，涉及有放回抽样和不放回抽样的区别，以及期望的线性性质的应用。

解题核心思路：

1. 单次期望计算：根据奖券面值及对应概率，计算单次抽取的期望值。
2. 总期望扩展：利用期望的线性性，将单次期望扩展到多次抽取。
3. 方差计算：先计算单次方差，再结合独立重复试验的方差性质（有放回时方差叠加）。

破题关键点：

• 有放回与不放回的区别：期望值相同，但方差不同（本题第3问仅涉及有放回）。
• 期望的线性性：无论是否放回，总期望均为单次期望的倍数。
• 方差叠加规则：有放回时，总方差为单次方差的倍数；不放回时需调整方差公式。

第1题（有放回抽取10张）

单次期望计算

单次抽取金额的期望为：
$E(X) = 5 \cdot \frac{60}{100} + 10 \cdot \frac{30}{100} + 50 \cdot \frac{10}{100} = 3 + 3 + 5 = 11 \ \text{元}$

总期望计算

抽取10张的总期望为：
$E(10X) = 10 \cdot E(X) = 10 \cdot 11 = 110 \ \text{元}$

第2题（不放回抽取10张）

期望线性性质

不放回时，虽然各次抽取不独立，但期望的线性性仍成立，总期望与有放回相同：
$E(\text{总金额}) = 10 \cdot 11 = 110 \ \text{元}$

第3题（有放回抽取10张的方差）

单次方差计算

单次方差为：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(5^2 \cdot \frac{60}{100} + 10^2 \cdot \frac{30}{100} + 50^2 \cdot \frac{10}{100}\right) - 11^2 = 295 - 121 = 174$

总方差计算

总方差为：
$D(10X) = 10 \cdot D(X) = 10 \cdot 174 = 1740$