根据数列极限的定义证明:lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2) __

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义进行严格证明的能力，需要掌握代数变形和不等式放缩的技巧，以及如何根据给定的$\varepsilon$找到对应的$N$。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将$\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right|$进行通分和化简，得到更易处理的形式。
2. 建立不等式：通过不等式变形，将问题转化为寻找满足$\frac{1}{4n+2} < \varepsilon$的$N$。
3. 确定$N$的取值：通过解不等式得到$N$的表达式，确保当$n > N$时，不等式成立。

破题关键点：

• 正确化简绝对值表达式是基础，需注意分母的通分和分子的展开。
• 灵活处理不等式，通过放大或缩小分母来简化条件，找到$N$的表达式。

步骤1：化简绝对值表达式
计算$\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right|$：
$\begin{aligned}\left|\frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2}\right| &= \left|\frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)}\right| \\&= \left|\frac{6n + 2 - 6n - 3}{2(2n+1)}\right| \\&= \left|\frac{-1}{2(2n+1)}\right| \\&= \frac{1}{4n + 2}.\end{aligned}$

步骤2：建立不等式条件
根据极限定义，需使$\frac{1}{4n + 2} < \varepsilon$，即：
$4n + 2 > \frac{1}{\varepsilon}.$

步骤3：解不等式确定$N$
将不等式变形为：
$n > \frac{1}{4\varepsilon} - \frac{1}{2}.$
取$N$为满足$N \geq \frac{1}{4\varepsilon} - \frac{1}{2}$的最小正整数（例如向上取整）。

步骤4：验证结论
当$n > N$时，$\frac{1}{4n + 2} < \varepsilon$，因此原式绝对值小于$\varepsilon$，满足极限定义。