题目

已知随机变量X的概率密度为-|||-_(x)(x)= ) (e)^-x,xgt 0, 0,xleqslant 0 的概率密度.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查概率密度函数的变量变换方法，特别是通过分布函数法求导得到新随机变量的概率密度。

解题核心思路：

  1. 确定变量关系：由 $Y = e^X$，可得 $X = \ln Y$，并分析 $Y$ 的取值范围。
  2. 分布函数法：通过 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y)$ 转化为 $X$ 的概率表达式，再结合原概率密度 $f_X(x)$ 计算。
  3. 求导得密度：对分布函数 $F_Y(y)$ 求导得到 $f_Y(y)$，注意分段讨论 $y$ 的范围。

破题关键点：

  • 变量范围分析：$X > 0$ 对应 $Y = e^X \geq 1$，当 $y < 1$ 时概率为 $0$。
  • 积分计算：对 $y \geq 1$ 时的分布函数积分 $\int_0^{\ln y} e^{-x} dx$，并正确求导。

步骤1：确定变量关系与取值范围

由 $Y = e^X$，得 $X = \ln Y$。

  • 当 $X > 0$ 时，$Y = e^X > 1$；
  • 当 $X \leq 0$ 时，$Y = e^X \leq 1$，但此时 $f_X(x) = 0$，故实际 $Y \geq 1$。

步骤2：计算分布函数 $F_Y(y)$

分两种情况讨论：

  1. 当 $y < 1$ 时：
    $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y).$
    由于 $\ln y < 0$，而 $X > 0$ 时概率密度非零，故 $P(X \leq \ln y) = 0$，即：
    $F_Y(y) = 0 \quad (y < 1).$

  2. 当 $y \geq 1$ 时：
    $F_Y(y) = P(X \leq \ln y) = \int_{0}^{\ln y} e^{-x} dx.$
    积分计算：
    $\int_{0}^{\ln y} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\ln y} = -e^{-\ln y} + e^{0} = 1 - \frac{1}{y}.$
    因此：
    $F_Y(y) = 1 - \frac{1}{y} \quad (y \geq 1).$

步骤3：对分布函数求导得概率密度

对 $F_Y(y)$ 分段求导：

  1. 当 $y < 1$ 时：
    $f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = 0.$

  2. 当 $y \geq 1$ 时：
    $f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( 1 - \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y^2}.$