题目
(5)求方程 '(sec )^2y+dfrac (x)(1+{x)^2}tan y=x 满足条件 (|)_(x=0)=0 的特解.-|||-求解下列一阶微分方程
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $\tan y = u$，则 $y' = \frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{du}{dx} \cdot \cos^2 y$。由于 $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + u^2$，所以 $y' = \frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1 + u^2}$。
步骤 2：代入原方程
将 $y'$ 和 $\tan y$ 代入原方程，得到 $\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot (1 + u^2) + \frac{x}{1 + x^2} u = x$，简化后得到 $\frac{du}{dx} + \frac{x}{1 + x^2} u = x$。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其标准形式为 $\frac{du}{dx} + P(x)u = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{x}{1 + x^2}$，$Q(x) = x$。使用积分因子法，积分因子为 $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1 + x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1 + x^2)} = \sqrt{1 + x^2}$。乘以积分因子后，方程变为 $\frac{d}{dx} (u \sqrt{1 + x^2}) = x \sqrt{1 + x^2}$。两边积分得到 $u \sqrt{1 + x^2} = \int x \sqrt{1 + x^2} dx$。令 $t = 1 + x^2$，则 $dt = 2x dx$，所以 $\int x \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C$。因此，$u = \frac{1}{3} (1 + x^2) + \frac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$。
步骤 4：应用初始条件
由 $y{|}_{x=0}=0$ 知，$u{|}_{x=0} = \tan 0 = 0$，代入 $u = \frac{1}{3} (1 + x^2) + \frac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$ 得到 $0 = \frac{1}{3} + C$，所以 $C = -\frac{1}{3}$。因此，$u = \frac{1}{3} (1 + x^2) - \frac{1}{3 \sqrt{1 + x^2}}$。
步骤 5：求解 $y$
由于 $u = \tan y$，所以 $\tan y = \frac{1}{3} (1 + x^2) - \frac{1}{3 \sqrt{1 + x^2}}$。
令 $\tan y = u$，则 $y' = \frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{du}{dx} \cdot \cos^2 y$。由于 $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + u^2$，所以 $y' = \frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1 + u^2}$。
步骤 2：代入原方程
将 $y'$ 和 $\tan y$ 代入原方程，得到 $\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot (1 + u^2) + \frac{x}{1 + x^2} u = x$，简化后得到 $\frac{du}{dx} + \frac{x}{1 + x^2} u = x$。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其标准形式为 $\frac{du}{dx} + P(x)u = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{x}{1 + x^2}$，$Q(x) = x$。使用积分因子法，积分因子为 $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1 + x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1 + x^2)} = \sqrt{1 + x^2}$。乘以积分因子后，方程变为 $\frac{d}{dx} (u \sqrt{1 + x^2}) = x \sqrt{1 + x^2}$。两边积分得到 $u \sqrt{1 + x^2} = \int x \sqrt{1 + x^2} dx$。令 $t = 1 + x^2$，则 $dt = 2x dx$，所以 $\int x \sqrt{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = \frac{1}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C$。因此，$u = \frac{1}{3} (1 + x^2) + \frac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$。
步骤 4：应用初始条件
由 $y{|}_{x=0}=0$ 知，$u{|}_{x=0} = \tan 0 = 0$，代入 $u = \frac{1}{3} (1 + x^2) + \frac{C}{\sqrt{1 + x^2}}$ 得到 $0 = \frac{1}{3} + C$，所以 $C = -\frac{1}{3}$。因此，$u = \frac{1}{3} (1 + x^2) - \frac{1}{3 \sqrt{1 + x^2}}$。
步骤 5：求解 $y$
由于 $u = \tan y$，所以 $\tan y = \frac{1}{3} (1 + x^2) - \frac{1}{3 \sqrt{1 + x^2}}$。