二13.曲线 (x)=(x)^2x 在 x=1 处的切线方程是 __

考查要点：本题主要考查对数求导法的应用，以及利用导数求曲线在某一点处的切线方程。

解题核心思路：

1. 对数求导法：当函数形式为底数和指数均含变量的指数函数（如$x^{2x}$）时，先对函数两边取自然对数，将指数转化为乘法，简化求导过程。
2. 导数计算：对变形后的等式两边求导，利用乘积法则和链式法则求出导数表达式。
3. 代入求值：计算函数在$x=1$处的函数值$f(1)$和导数值$f'(1)$，结合点斜式方程写出切线方程。

破题关键点：

• 正确应用对数性质，将原函数转化为便于求导的形式。
• 准确计算复合函数的导数，特别注意乘积法则的应用。
• 代入$x=1$时，注意$\ln 1 = 0$的简化作用。

步骤1：对函数取对数

设$f(x) = x^{2x}$，两边取自然对数：
$\ln f(x) = \ln(x^{2x}) = 2x \ln x$

步骤2：对两边求导

对等式两边关于$x$求导：

• 左边：$\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
• 右边：$\frac{d}{dx} (2x \ln x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2$

因此得到：
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \ln x + 2$

步骤3：解出$f'(x)$

两边乘以$f(x)$：
$f'(x) = f(x) \cdot (2 \ln x + 2) = x^{2x} \cdot (2 \ln x + 2)$

步骤4：计算$f(1)$和$f'(1)$

• 函数值：$f(1) = 1^{2 \cdot 1} = 1$
• 导数值：$f'(1) = 1^{2 \cdot 1} \cdot (2 \ln 1 + 2) = 1 \cdot (0 + 2) = 2$

步骤5：写出切线方程

切线方程的点斜式为：
$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$
代入$f(1)=1$和$f'(1)=2$：
$y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1$