根据数列极限的定义证明:-|||-lim dfrac (sqrt {{n)^2+(a)^2}}(n)=1

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义证明极限存在的能力，需要掌握有理化技巧和不等式放缩的方法。

解题核心思路：

1. 有理化处理：将表达式变形为便于估计的形式，通过分子分母同乘共轭来消除根号。
2. 分母下界估计：利用不等式技巧找到分母的下界，从而将原式上界转化为更简单的表达式。
3. 解不等式确定N：根据放缩后的表达式，解出满足条件的N，完成极限定义的验证。

破题关键点：

• 正确应用有理化，将绝对值表达式转化为可处理的形式。
• 合理估计分母，通过分母的下界简化不等式。
• 准确解不等式，找到N的表达式，确保当n > N时原式小于任意给定的ε。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\left| \frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} - 1 \right| = \left| \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right|$
分子分母同乘共轭：
$= \frac{\left( \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} - 1 \right) \left( \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1 \right)}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} = \frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1}$

步骤2：分母下界估计
当$n \geq 1$时，$\frac{a^2}{n^2} \geq 0$，因此：
$\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} \geq 1 \implies \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1 \geq 2$
从而：
$\frac{a^2}{n^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} + 1} \leq \frac{a^2}{2n^2}$

步骤3：解不等式确定N
要求$\frac{a^2}{2n^2} < \varepsilon$，解得：
$n > \frac{|a|}{\sqrt{2\varepsilon}}$
取$N = \left\lceil \frac{|a|}{\sqrt{2\varepsilon}} \right\rceil$（$\lceil \cdot \rceil$表示向上取整），则当$n > N$时，原式成立。