题目
1.求函数 y=√(arcsin(3x+4) 的定义域。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\arcsin$ 函数的定义域
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1, 1]$，即 $\arcsin(x)$ 只在 $x \in [-1, 1]$ 时有定义。
步骤 2：确定 $\sqrt{\arcsin(3x+4)}$ 的定义域
由于 $\sqrt{\arcsin(3x+4)}$ 中的 $\arcsin(3x+4)$ 必须在 $[-1, 1]$ 内，且 $\sqrt{z}$ 要求 $z \geq 0$，因此 $\arcsin(3x+4) \geq 0$。结合 $\arcsin$ 函数的性质，$\arcsin(3x+4) \geq 0$ 等价于 $3x+4 \geq 0$ 且 $3x+4 \leq 1$。
步骤 3：求解不等式
解不等式 $0 \leq 3x+4 \leq 1$，得到 $-4 \leq 3x \leq -3$，即 $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq -1$。
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1, 1]$，即 $\arcsin(x)$ 只在 $x \in [-1, 1]$ 时有定义。
步骤 2：确定 $\sqrt{\arcsin(3x+4)}$ 的定义域
由于 $\sqrt{\arcsin(3x+4)}$ 中的 $\arcsin(3x+4)$ 必须在 $[-1, 1]$ 内，且 $\sqrt{z}$ 要求 $z \geq 0$，因此 $\arcsin(3x+4) \geq 0$。结合 $\arcsin$ 函数的性质，$\arcsin(3x+4) \geq 0$ 等价于 $3x+4 \geq 0$ 且 $3x+4 \leq 1$。
步骤 3：求解不等式
解不等式 $0 \leq 3x+4 \leq 1$，得到 $-4 \leq 3x \leq -3$，即 $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq -1$。