题目
设 L 为下半圆周 x^2 + y^2 = R^2 (y leq 0)，将曲线积分 I = int_(L) (x + 2y), ds 化为定积分的正确结果是______ A. int_(0)^-pi R^2 (cos t + 2 sin t), dtB. int_(-pi)^0 R^2 (cos t + 2 sin t), dtC. int_(0)^0 R^2 (sin t + 2 cos t), dtD. int_((3pi)/(2))^2pi R^2 (sin t + 2 cos t), dt
设 $L$ 为下半圆周 $x^2 + y^2 = R^2 (y \leq 0)$，将曲线积分 $I = \int_{L} (x + 2y)\, ds$ 化为定积分的正确结果是______
- A. $\int_{0}^{-\pi} R^2 (\cos t + 2 \sin t)\, dt$
- B. $\int_{-\pi}^{0} R^2 (\cos t + 2 \sin t)\, dt$
- C. $\int_{0}^{0} R^2 (\sin t + 2 \cos t)\, dt$
- D. $\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} R^2 (\sin t + 2 \cos t)\, dt$
题目解答
答案
将曲线 $ L $ 参数化为 $ x = R\cos t $，$ y = R\sin t $，其中 $ t $ 的范围从 $ -\pi $ 到 $ 0 $（对应下半圆）。计算弧长元素 $ ds = R\,dt $（因 $ dt $ 为正）。代入曲线积分得：
\[
I = \int_{-\pi}^{0} (R\cos t + 2R\sin t)R\,dt = \int_{-\pi}^{0} R^2(\cos t + 2\sin t)\,dt.
\]
与选项B一致。
**答案：B**
$\boxed{B}$
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 $L$ 是一个半径为 $R$ 的下半圆，可以参数化为 $x = R\cos t$ 和 $y = R\sin t$，其中 $t$ 的范围从 $-\pi$ 到 $0$，因为这是下半圆的参数范围。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 可以通过参数化曲线的导数计算得到。由于 $x = R\cos t$ 和 $y = R\sin t$，则 $dx = -R\sin t\,dt$ 和 $dy = R\cos t\,dt$。因此，$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2}\,dt = R\,dt$。
步骤 3：代入曲线积分
将参数化后的 $x$ 和 $y$ 以及 $ds$ 代入曲线积分 $I = \int_{L} (x + 2y)\, ds$，得到 $I = \int_{-\pi}^{0} (R\cos t + 2R\sin t)R\,dt = \int_{-\pi}^{0} R^2(\cos t + 2\sin t)\,dt$。
曲线 $L$ 是一个半径为 $R$ 的下半圆，可以参数化为 $x = R\cos t$ 和 $y = R\sin t$，其中 $t$ 的范围从 $-\pi$ 到 $0$，因为这是下半圆的参数范围。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 可以通过参数化曲线的导数计算得到。由于 $x = R\cos t$ 和 $y = R\sin t$，则 $dx = -R\sin t\,dt$ 和 $dy = R\cos t\,dt$。因此，$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2}\,dt = R\,dt$。
步骤 3：代入曲线积分
将参数化后的 $x$ 和 $y$ 以及 $ds$ 代入曲线积分 $I = \int_{L} (x + 2y)\, ds$，得到 $I = \int_{-\pi}^{0} (R\cos t + 2R\sin t)R\,dt = \int_{-\pi}^{0} R^2(\cos t + 2\sin t)\,dt$。