题目

9 设实数x，y满足3x²+2y²=6，求2x+y的最大值.

题目解答

答案

将 $2x + y$ 表达为柯西不等式形式： \[ 2x + y = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}x \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}y \right) \] 应用柯西不等式： \[ \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) \left( 3x^2 + 2y^2 \right) \geq (2x + y)^2 \] 代入已知条件 $3x^2 + 2y^2 = 6$： \[ \frac{11}{6} \cdot 6 \geq (2x + y)^2 \implies 11 \geq (2x + y)^2 \] 取平方根得最大值： \[ \sqrt{11} \geq |2x + y| \] **答案：** $\boxed{\sqrt{11}}$

解析

考查要点：本题主要考查利用柯西不等式求解条件极值问题，需要将目标函数与约束条件进行合理变形，构造出适用柯西不等式的形式。

解题核心思路：
将目标函数$2x + y$拆解为两个向量的点积形式，使得约束条件$3x^2 + 2y^2 = 6$能够对应柯西不等式中的向量模长平方和。通过不等式推导，结合已知条件求出最大值。

破题关键点：

调整系数：将$2x$和$y$分别表示为$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}x$和$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}y$，使变形后的项与约束条件中的$3x^2$和$2y^2$对应。
应用柯西不等式：通过点积形式构造不等式，结合约束条件代入求解。

将目标函数$2x + y$变形为柯西不等式适用的形式：
$2x + y = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}x \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}y \right)$

应用柯西不等式：
$\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}y \right)^2 \leq \left( \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \right) \left( (\sqrt{3}x)^2 + (\sqrt{2}y)^2 \right)$

代入已知条件：
$\left( \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \right) \cdot 6 \geq (2x + y)^2$

计算并化简：
$\frac{11}{6} \cdot 6 = 11 \geq (2x + y)^2 \implies |2x + y| \leq \sqrt{11}$

因此，$2x + y$的最大值为$\sqrt{11}$。