题目

5、设A是正交矩阵，则|A|=__.

题目解答

答案

正交矩阵 $ A $ 满足 $ A^T A = I $。对两边取行列式，利用行列式性质（乘积的行列式等于行列式的乘积，转置的行列式等于原矩阵的行列式），得： \[ \det(A^T A) = \det(I) \implies \det(A)^2 = 1 \implies \det(A) = \pm 1 \] 因此，正交矩阵的行列式为 $\boxed{\pm 1}$。

解析

正交矩阵的定义是其转置矩阵与原矩阵相乘等于单位矩阵，即$A^T A = I$。本题的关键在于利用行列式的性质，特别是行列式乘积性质（$\det(AB) = \det(A)\det(B)$）和转置矩阵的行列式等于原矩阵行列式（$\det(A^T) = \det(A)$），从而推导出行列式的值。

根据正交矩阵的定义：
正交矩阵满足$A^T A = I$。
对等式两边取行列式：
$\det(A^T A) = \det(I).$
应用行列式的性质：
- 行列式的乘积性质：$\det(A^T A) = \det(A^T) \det(A)$。
- 转置行列式性质：$\det(A^T) = \det(A)$。
  因此，左边化简为$\det(A) \cdot \det(A) = \det(A)^2$，右边$\det(I) = 1$。
解方程：
$\det(A)^2 = 1 \implies \det(A) = \pm 1.$